1r ciclo Subespacios complementarios

[rikitero]

Hola a todos. He estado dando vueltas a este ejercicio bastante rato y no se doy con ello. Se trata de establecer la base y las ecuaciones de un subespacio complementario al ya dado. Lo unico que me dio mi profesor es que la interseccion de un subespacio con su complementario tiene que ser 0, y que ademas la suma de ambos es igual al espacio completo. Pero no se el procedimiento que debo seguir para hallar el complementario... En concreto este es el ejercicio:
Hallar una base y las ecuaciones cartesianas de un espacio complementario de
a) S1 = Span{(0, 2, 5, 0),(−1, 1, 3, 2)}.
b) S2 = Span{(1, 1, 0, 0),(1, 0, 1, 0),(0, 0, 1, 1),(0, 1, 0, 1)}
Les agradeceria mucho su ayuda,
Un saludo

[gdonoso94]

Re: Subespacios complementarios

En el apartado a) tendrás que encontrar dos vectores de cuatro componentes que sean linealmente independientes entre ellos y con los otros dos que te dan (siempre y cuando estos dos sean linealmente independientes).

En el apartado b) tendrás que comprobar si esos vectores son linealmente independientes. Si lo son, ya tienes una base del espacio completo ($\mathbb{R}^4$). En el caso de que no lo sean, tendrás que seleccionar los linealmente independientes y añadir vectores de cuatro componentes hasta conseguir un conjunto de cuatro vectores de cuatro componentes (valga la redundancia) que sea linealmente independiente.

Si no lo entiendes o prefieres que te ilustre con un ejemplo, pregunta de nuevo .

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Añado:

Me ha faltado decirte que el subespacio complementario es el generado (spanned) por los vectores que tengas que añadir.

[rikitero]

Re: Subespacios complementarios

Vale mas o menos me quedo con la idea. El hecho de que el espacio completo que tengas que conseguir sea es porque tienes 4 componentes en los vectores (o sea, 4 dimensiones) verdad? Si fueran vectores de 3 componentes por ejemplo deberias encontrar una base de 3 elementos?
Despues para comprobar que son linealmente independientes mi profe me enseño poniendo los vectores en columna en una matriz y aplicando el metodo de gauss, de manera que si cada columna tiene un pivote, entonces los vectores son linealmente independientes.
Pero no se el procedimiento que debo seguir para hallar otros vectores linealmente independientes a los dados.
Luego a partir de ahi ya creo que tendria la base del espacio complementario ( que son los vectores que he añadido) y sabria calcular las ecuaciones.
Siento pedirte un poco mas de ayuda.

[Weip]

Re: Subespacios complementarios

Vale mas o menos me quedo con la idea. El hecho de que el espacio completo que tengas que conseguir sea es porque tienes 4 componentes en los vectores (o sea, 4 dimensiones) verdad? Si fueran vectores de 3 componentes por ejemplo deberias encontrar una base de 3 elementos?
Despues para comprobar que son linealmente independientes mi profe me enseño poniendo los vectores en columna en una matriz y aplicando el metodo de gauss, de manera que si cada columna tiene un pivote, entonces los vectores son linealmente independientes.
Pero no se el procedimiento que debo seguir para hallar otros vectores linealmente independientes a los dados.
Luego a partir de ahi ya creo que tendria la base del espacio complementario ( que son los vectores que he añadido) y sabria calcular las ecuaciones.
Siento pedirte un poco mas de ayuda.

Bueno, de hecho es porque la base tiene 4 vectores (=dimensión 4 por definición de dimensión). A partir de ahí, cualquier otro vector del espacio lo puedes expresar como combinación lineal de los otros 4 de la base, con lo que todos tus vectores tienen 4 componentes.

Para comprobar que son linealmente independientes, puedes usar combinaciones lineales (que es la definición), hacer un determinante... Como quieras. En cuanto a procedimiento, no hay ninguno. Has de ir probando a vista hasta que completes la base. En tu caso es bastante sencillo de hacer.

[gdonoso94]

Re: Subespacios complementarios

Gracias por contestar, Weip.

Solo añadir que tu método para ver si son lin. independientes es correcto (el de rikitero). Para encontrar vectores linealmente independientes con esos que tienes no hay ningún truco, échale imaginacion. Por ejemplo: un vector linealmente independiente con los vectores del apartado a) sería el (0,0,1,0) ya que no puedes conseguir ese vector operando con los otros dos... Ahora sólo te falta encontrar uno más.

Ánimo, que es fácil.

Saludos.

[rikitero]

Re: Subespacios complementarios

Vale, ya lo he entendido. Ahora solo me falta encontrar esos vectores pensando un poco, aunque mmm.. no se me da muy bien eso. Lo intento y si no me salen ya os digo. Muchas gracias a los dos.
Un saludo