Otras carreras Concepto "transformación"

[Gambitoalekhine]

Hola quiero generar la siguiente discusión basada en una curiosidad, se las platico:

La mayoría hemos escuchado y leído sobre el concepto de transformada en matemáticas, por ejemplo, transformadas de Laplace, Fourier, lineales, etc. En física también existen varias transformadas, ejemplo: las t. de Galileo, de Gauge, de Lorentz, etc.
No he tenido experiencia con todas, una con la que sí, es la transformada de Laplace, Fourier y las lineales. Pero me surge la inquietud por conocer una DEFINICIÓN GENERAL de TRANSFORMACIÓN. Es decir quiero saber qué condiciones y características debe cumplir una operación (me parece que las transformaciones son operadores, corríjanme si estoy mal) para que pueda considerarse una transformación.
Me gustaría saber qué teoría de las mates se encarga de abordar las transformaciones; ¿cuál es la teoría (o ¿cuáles son?) que aporta(n) los fundamentos para generar transformaciones?

Si me pueden proporcionar bibliografía mucho mejor.

Saludos, banda.

[visitante20160513]

Re: Concepto "transformación"

El significado de la palabra transformacion en mi modesta opinión debe entenderse como lo que significa en castellano, es decir elegir un objeto, matemático, físico, etc. y convertirlo en otro relacionado con él. Sin más, no tiene para mi un significado especifico que haga relación a un determinado proceso de conversión, con una definición ortodoxa ni nada que se le parezca. Hay muchos tipos de transformaciones, en matemáticas, en física, en ingeniería y en otras muchas disciplinas, pero no tienen un denominador común que yo sepa.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: Concepto "transformación"

Tal como dice Jabato, es un nombre como otro cualquiera. Se utiliza para denominar ciertas aplicaciones. Por ejemplo se usa para llamar a los vectores del espacio dual (tienen varios nombres), entre otros ejemplos.

[Gambitoalekhine]

Re: Concepto "transformación"

Sigo creyendo que si existe una base teórica. Supongamos que uds. tienen razón y que la palabra transformación carezca de un significado general, entonces al menos me gustaría saber quién fue el primero en usar el concepto de transformación (aunque a lo mejor no lo haya hecho con ese nombre). Creo que el contexto histórico nos proporcionará nociones más precisas.

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Otra cuestión es: ¿una función es una transformación?

*No recuerdo haberlo leído ni de mis clases. Así que si es algo trivial, disculpen.

[javier m]

Re: Concepto "transformación"

En wikipedia dice algo, pero no sé si eso sea la definición correcta.

En caso de que una transformación sea lo mismo que una función, entonces sí tiene una definción rigurosa, ya que una función $f:X \to Y$ es un subconjunto de $X \times Y$ que cumple una que otra propiedad

[Weip]

Re: Concepto "transformación"

Otra cuestión es: ¿una función es una transformación?

Sí. Pero cuidado, no toda transformación es una función. En general, es una aplicación (las definiciones de aplicación y función son casi iguales pero no son lo mismo, cuidado con esto porque en muchos sitios por simplificar no las diferencian).

[Gambitoalekhine]

Re: Concepto "transformación"

Hola de nuevo, encontré el sig. libro: Estudio de las Geometrías, de Howard Eves, UTEHA, 1969, tomo I.
En este libro (capítulo III), hay un tema que se llama Teoría de Transformación. Les transcribo lo que saqué del libro y me parece importante para esta discusión:

"... Deseamos resolver un problema difícil relacionado con una figura dada. Transformamos dicha figura en otra que se relacione con ella en una forma concreta y tal que, luego de la transformación, el problema difícil referente a la figura original se convierta en uno más simple en relación con la figura nueva. Resolvemos este problema más simple relacionado con la figura nueva y luego invertimos la transformación para obtener la solución del problema más difícil relacionado con la figura original.
La idea de resolver un problema difícil por medio de una transformación adecuada no es peculiar de la geometría, pues se encuentra en toda la matemática.[referencia 1]"

"DEFINICIÓN: Un mapeo de un conjunto A sobre otro B en el que los elementos distintos de A tienen imágenes distintas en B se llama una transformación (o mapeo biunívoco, o uno a uno) de A sobre B."

*Aclaro que el concepto de mapeo lo usa igual que el concepto de función.
De esto podemos ver que una transformación en general se define como una función biunívoca.

La [referencia 1] que aparece en la cita es:
M. S. Klamkin y D. J. Newman, "The philosophy and applications of transform theory", SIAM Review, vol. 3, núm. 1, enero de 1961, págs. 10-36.

Si alguien encuentra este artículo, le ruego que me lo comparta.

Saludos.

[javier m]

Re: Concepto "transformación"

Es raro, porque en Algebra lineal se habla de Transformaciones Lineales, y no tienen que ser inyectivas

[Gambitoalekhine]

Re: Concepto "transformación"

Es raro, porque en Algebra lineal se habla de Transformaciones Lineales, y no tienen que ser inyectivas

¿Por qué una transformación lineal no ha de ser inyectiva, necesariamente?

No entiendo.

[javier m]

Re: Concepto "transformación"

O sea, que las transformaciones lineales pueden ser inyectivas, como pueden no serlo

Por ejemplo, esto:

$T: R^2 \to R^2$
$T(x,y)=(0,0)$ para todo $x,y$

es una transformación lineal y no es inyectiva

[Weip]

Re: Concepto "transformación"

Hola de nuevo, encontré el sig. libro: Estudio de las Geometrías, de Howard Eves, UTEHA, 1969, tomo I.
En este libro (capítulo III), hay un tema que se llama Teoría de Transformación. Les transcribo lo que saqué del libro y me parece importante para esta discusión:

"... Deseamos resolver un problema difícil relacionado con una figura dada. Transformamos dicha figura en otra que se relacione con ella en una forma concreta y tal que, luego de la transformación, el problema difícil referente a la figura original se convierta en uno más simple en relación con la figura nueva. Resolvemos este problema más simple relacionado con la figura nueva y luego invertimos la transformación para obtener la solución del problema más difícil relacionado con la figura original.
La idea de resolver un problema difícil por medio de una transformación adecuada no es peculiar de la geometría, pues se encuentra en toda la matemática.[referencia 1]"

"DEFINICIÓN: Un mapeo de un conjunto A sobre otro B en el que los elementos distintos de A tienen imágenes distintas en B se llama una transformación (o mapeo biunívoco, o uno a uno) de A sobre B."

*Aclaro que el concepto de mapeo lo usa igual que el concepto de función.
De esto podemos ver que una transformación en general se define como una función biunívoca.

La [referencia 1] que aparece en la cita es:
M. S. Klamkin y D. J. Newman, "The philosophy and applications of transform theory", SIAM Review, vol. 3, núm. 1, enero de 1961, págs. 10-36.

Si alguien encuentra este artículo, le ruego que me lo comparta.

Saludos.

El texto tiene toda la razón, pero has olvidado un detalle. Esa no es una definición general de transformación, si no que es la definición que se usa en geometría.

Ahora bien, como he dicho en anteriores mensajes, la definición de transformación depende del contexto. Piensa que es un nombre que le pones a cierta aplicación y que se usa para muchas otras cosas. Ahí tienes el ejemplo que ha puesto javier m. ¿Cuál es la diferencia entre transformación lineal y aplicación lineal? Ninguna. Otro ejemplo en el contexto del álgebra lineal, una transformación es un vector de un espacio dual. Existen muchos otros conceptos que les pasa lo mismo, por ejemplo las formas.

Si aún así no estás convencido y quieres que te digamos una teoría que trate las transformaciones, esa es la teoría de conjuntos. Y eso ya lo has hecho en clase seguramente.

[Gambitoalekhine]

Re: Concepto "transformación"

si, debe ser teoría de conjuntos.

gracias.