Secundaria Límite de una funciòn

[Sealfe]

[FONT=verdana]El número constante a se denomina límite de la variable x, si para cualquier número infinitesimal positivo e prefijado, se puede indicar tal valor de la variable x, a partir del cual todos los valores posteriores de la misma satisfacen la desigualdad [/FONT]


[FONT=verdana]El número e dice que es prefijado. Lo que no entiendo es quién prefija ese número. En todo lo que he avanzado no me ha hablado del valor de ese número. Es lo que más me desconcierta[/FONT]

[FONT=verdana]Luego resuelve un ejercicio diciendo que va a comprobar que el límite de una función es la unidad[/FONT]

[FONT=verdana]Tiene que [/FONT]
[FONT=verdana]Aplicas la desigualdad de la definición y da que [/FONT]

[FONT=verdana]Mis preguntas:[/FONT]

[FONT=verdana]Automaticamente dice que el límite es la unidad, pero cómo sé el valor del límite si no me lo dice? es por lógica o más adelante explicará métodos?[/FONT]
[FONT=verdana]Y la que más me desconcierta es el número prefijado e. No entiendo quién lo prefija. Esta desigualdad sirve para comprobar que el límite es correcto, no?[/FONT]

También habla de que no puede haber dos límites para una función. Supongo que se refiere siempre y cuando la variable independiente aumente. Si tomamos todos los valores de la variable independiente habría dos límites, no? Uno para cuando la variable independiente crece, y otro para cuando decrece

[FONT=verdana]Un saludo y a ver si me podéis echar una mano!

PD: He pensado un poco y he pensado que al tomar valores negativos en vez de acercarse a otro límite, lo que hace es alejarse del primero. Me desconcierta porque siempre hablaba de valores posteriores de variable independiente. Si me podéis confirmar lo que es correcto, lo agradecería![/FONT]

[Weip]

Re: Límite de una funciòn

El número $e$ no lo prefija nadie. La definición de límite te dice eso, y como definición que es, se cumple. Es un número cualquiera que lo puedes elegir por conveniencia siempre y cuando sea consistente con la definición.

En cuanto al ejercicio, has de usar la definición de límite. Ésta te dice (entre otras cosas) que $|f(x)-L|< \epsilon$, donde $L$ es el límite del enunciado. Planteas la desigualdad, operas y le das un valor a la $e$ de forma que se cumpla la definición de límite. En esta página tienes ejemplos, porque así en frío igual no te ha quedado claro.

Luego, el límite de una función es único en todos los casos posibles. Un límite no te puede dar a la vez y $2$, o $- \infty$ y $1$. Te va a dar un solo resultado. Siempre.

[arivasm]

Re: Límite de una funciòn

Por "número prefijado" se refieren a "cualquier número positivo no nulo que se quiera". No lo prefija nadie. De hecho en muchas definiciones se usan otras formas quizá más claras. Copio estas dos de Wikipedia:

La primera es intuitiva y poco formal

eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite

La segunda va en la línea de la que escribes (la negrita es mía)

El término general de una sucesión tiene límite , cuando tiende a , si para todo valor $\varepsilon$ por pequeño que sea, existe un valor a partir del cual si tenemos que la distancia de a es menor que , es decir:
$\forall \varepsilon > 0, \exists n_0>0 : \forall n>n_0, d(x_n,l)<\varepsilon$
.

Quizá lo asocies mejor con lo que tienes tú si lo ponemos así:

El término general de una sucesión tiene límite , cuando tiende a , si para todo valor $\varepsilon$ por pequeño que sea, existe un valor a partir del cual si tenemos que la distancia de $a$ a es menor que , es decir: $\forall \varepsilon > 0, \exists n_0>0 : \forall n>n_0, |x_n-a|<\varepsilon$

Respecto de la sucesión $1+\frac{1}{n}$ es muy obvio que el límite es 1: a medida que $n\to\infty$ se tiene que $\frac{1}{n}\to 0$ y entonces $1+\frac{1}{n}\to 1$

PD: Veo que Weip y yo escribimos casi al mismo tiempo. Por supuesto, mi mensaje es de respuesta al primero.

[Sealfe]

Re: Límite de una funciòn

Perfecto, creo que ya lo entiendo.

En esa ocasión se ve claro cual es el límite de la función, pero quizá hay otras que no se vea (aunque de momento todas con las que he trabajado se ve a simple vista, sin necesidad de pensar mucho"

Gracias a los dos!

[Sealfe]

Re: Límite de una funciòn

Una duda muy tonta.

Tenemos que xn=1+1/n

Imaginemos que digo que el límite es 2.

|1+1/n-2|<e
Vamos a tomar e (aunque debería cumplirse con cualquier número, para que me sea más fácil) de valor 1/2
|-1+1/n|<e
El valor que n ha de tomar es a partir de dos, pero lo que planteo no es correcto porque los valores posteriores de n no cumplen esta desigualdad. Me lo podéis confirmar? Es decir, que para que se cumpla la desigualdad se deben tomar los valores posteriores de n necesarios para que esta se cumpla. No sé si me explico. Si n tiene que ser mínimo 3, tengo que tomar como valores de n válidos todos los valores posteriores.

Sé que es muy simple, pero así lo confirmo ya

De manera lógica he entendido el significado de límite, solo quiero aclararlo de manera matemática

Un saludo!

[visitante20160513]

Re: Límite de una funciòn

Vamos a ver si hablamos de sucesiones el límite es una cosa, pero si hablamos de funciones el límite es otra, ambos conceptos tienen muchas similitudes pero son conceptos distintos y para poderlos entender adecuadamente es necesario considerarlos de forma independiente. Hasta ahora las definiciones dadas dejan bastante que desear. Veamos ¿de qué estamos hablando de límites de sucesiones o de funciones?

Salu2, Jabato.

[alexpglez]

Re: Límite de una funciòn

Vamos a ver si hablamos de sucesiones el límite es una cosa, pero si hablamos de funciones el límite es otra, ambos conceptos tienen muchas similitudes pero son conceptos distintos y para poderlos entender adecuadamente es necesario considerarlos de forma independiente. Hasta ahora las definiciones dadas dejan bastante que desear. Veamos ¿de qué estamos hablando de límites de sucesiones o de funciones?

Salu2, Jabato.

Creo que Sealfe está leyendo 28, 29, 30 del piskunov. Una introducción a los límites que yo no conseguí entender muy bien.
Pero respondiendo a la duda sí que tiene límite en 2, cuando n es 1, ya que en el caso que has puesto, x=1+1=2.

[Sealfe]

Re: Límite de una funciòn

Jabato, de momento me ha hablado de límites de variables. Me ha puesto ese ejemplo, supongo que el tema del título está mal planteado, pero yo pensaba que el límite estaba solo asociado a la función

Alex, pero el límite es 2 para solo un valor concreto, no para cuando el valor de n aumenta. Es decir, para los siguientes valores de n no se cumple ni se aproxima al límite, el valor de x se aleja del límite.

Creía que el límite se asociaba a cuando el valor de la variable independiente aumenta. Si no todas funciones (sucesiones supongo que también) tendrían un límite para cada valor de la variable independiente, no?

Un saludo y gracias a los dos!

[alexpglez]

Re: Límite de una funciòn

Yo diría que la parte que estás tratando es de demostrar si cierta función o sucesión tiene cierto límite, pero no buscando en que valor de la variable tiene ese límite.

[Sealfe]

Re: Límite de una funciòn

Vale, ya entiendo. No sabía que también se usa el límite en esos casos.
Gracias!

[Weip]

Re: Límite de una funciòn

Vale, ya entiendo. No sabía que también se usa el límite en esos casos.
Gracias!

Permíteme decir que por el comentario que haces dudo que lo hayas entendido. Los límites se usan cuando se tienen que usar. La cosa no va de casos.

Tenemos que xn=1+1/n

Imaginemos que digo que el límite es 2.

|1+1/n-2|<e
Vamos a tomar e (aunque debería cumplirse con cualquier número, para que me sea más fácil) de valor 1/2
|-1+1/n|<e
El valor que n ha de tomar es a partir de dos, pero lo que planteo no es correcto porque los valores posteriores de n no cumplen esta desigualdad. Me lo podéis confirmar? Es decir, que para que se cumpla la desigualdad se deben tomar los valores posteriores de n necesarios para que esta se cumpla. No sé si me explico. Si n tiene que ser mínimo 3, tengo que tomar como valores de n válidos todos los valores posteriores.

El problema es que estás cogiendo $e$ de forma que no se cumple la definición de límite. Yo te dije que lo has de coger haciendo que se cumpla. Pero bueno en la mayoría de ejercicios no tendrás que darle ningún valor, solo desarrollarás la desigualdad y ya está.

Jabato, de momento me ha hablado de límites de variables. Me ha puesto ese ejemplo, supongo que el tema del título está mal planteado, pero yo pensaba que el límite estaba solo asociado a la función

Alex, pero el límite es 2 para solo un valor concreto, no para cuando el valor de n aumenta. Es decir, para los siguientes valores de n no se cumple ni se aproxima al límite, el valor de x se aleja del límite.

Creía que el límite se asociaba a cuando el valor de la variable independiente aumenta. Si no todas funciones (sucesiones supongo que también) tendrían un límite para cada valor de la variable independiente, no?

Un saludo y gracias a los dos!

Pues también existen los límites de sucesiones y se usa la notación de la $n$ en vez de $x$. El problema es que estás mezclando las dos y al final no sabemos de lo que estamos hablando. Aunque hasta ahora hemos tratado un tema común a los dos límites, así que todo lo dicho es válido.

La variable independiente puede tender a lo que quiera, otra cosa es que el límite exista o no. Tu puedes tomar $n$ cada vez más grandes o cada vez más pequeños, en eso no hay problema.

[Sealfe]

Re: Límite de una funciòn

Permíteme decir que por el comentario que haces dudo que lo hayas entendido. Los límites se usan cuando se tienen que usar. La cosa no va de casos.


El problema es que estás cogiendo $e$ de forma que no se cumple la definición de límite. Yo te dije que lo has de coger haciendo que se cumpla. Pero bueno en la mayoría de ejercicios no tendrás que darle ningún valor, solo desarrollarás la desigualdad y ya está.


Pues también existen los límites de sucesiones y se usa la notación de la $n$ en vez de $x$. El problema es que estás mezclando las dos y al final no sabemos de lo que estamos hablando. Aunque hasta ahora hemos tratado un tema común a los dos límites, así que todo lo dicho es válido.

La variable independiente puede tender a lo que quiera, otra cosa es que el límite exista o no. Tu puedes tomar $n$ cada vez más grandes o cada vez más pequeños, en eso no hay problema.

Y tenías razón. Me estaba liando mucho.

Me lié en cuanto a variables. Pensaba que me hablaba de una función y no sabía de cual me hablaba. A partir de eso ya me lié en todo lo demás. Con lo que me pusisteis y algo que he encontrado en alguna página ya está, solucionado, mucho más simple de lo que pensaba
Un saludo y gracias a todos!

[visitante20160513]

Re: Límite de una funciòn

[FONT=verdana]El número constante a se denomina límite de la variable x, si para cualquier número infinitesimal positivo e prefijado, se puede indicar tal valor de la variable x, a partir del cual todos los valores posteriores de la misma satisfacen la desigualdad [/FONT]

La verdad es que no entiendo esa definición de límite. Necesitaría algunas aclaraciones. Por ejemplo que es número infinitesimal (En el campo de los reales no existen tales números). Por ejemplo cuales son los valores posteriores de la variable $x$ (Parece que hay un orden implícito en los valores de la variable $x$ pero ni se dice cual es ni se puede suponer el orden estandar de los reales porque entonces no se cumple la condición). En fin creo que no entiendo esa definición. Además es que esa definición no coincide ni con la definición de limite de una función ni con la definición de límite de una sucesión, que son los dos únicos conceptos relacionados con límites que yo conozco. Parece que esa definición se aplica al límite de una variable, y tal cosa no existe que yo sepa.

Salu2, Jabato.

[alexpglez]

Re: Límite de una funciòn

La verdad es que no entiendo esa definición de límite. Necesitaría algunas aclaraciones. Por ejemplo que es número infinitesimal (En el campo de los reales no existen tales números). Por ejemplo cuales son los valores posteriores de la variable $x$ (Parece que hay un orden implícito en los valores de la variable $x$ pero ni se dice cual es ni se puede suponer el orden estandar de los reales porque entonces no se cumple la condición). En fin creo que no entiendo esa definición. Además es que esa definición no coincide ni con la definición de limite de una función ni con la definición de límite de una sucesión, que son los dos únicos conceptos relacionados con límites que yo conozco. Parece que esa definición se aplica al límite de una variable, y tal cosa no existe que yo sepa.

Salu2, Jabato.

Hola Jabato, yo encontré en varios sitios esa definición, no la entendí demasiado bien pero creo que significa que si se puede escribir esa desigualdad aplicada a cualquier variable, es que en algún punto, x tiende al límite a. Es cierto que es una definición un tanto abstracta..

Sería un paso más allá definir el límite de funciones (que es con lo que yo me he quedado de límites):

$$\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$$

Y con sucesiones lo mismo sólo que n (se suele en vez de con x con n la variable) sólo está definida limitada para ciertos valores discretos, habitualmente naturales.

[Weip]

Re: Límite de una funciòn

La verdad es que no entiendo esa definición de límite. Necesitaría algunas aclaraciones. Por ejemplo que es número infinitesimal (En el campo de los reales no existen tales números). Por ejemplo cuales son los valores posteriores de la variable $x$ (Parece que hay un orden implícito en los valores de la variable $x$ pero ni se dice cual es ni se puede suponer el orden estandar de los reales porque entonces no se cumple la condición). En fin creo que no entiendo esa definición. Además es que esa definición no coincide ni con la definición de limite de una función ni con la definición de límite de una sucesión, que son los dos únicos conceptos relacionados con límites que yo conozco. Parece que esa definición se aplica al límite de una variable, y tal cosa no existe que yo sepa.

Salu2, Jabato.

Bueno, hasta ahora nos hemos estado entendiendo pero es cierto que eso no es una definición, digamos que es una "interpretación desafortunada" de Sealfe.

Hola Jabato, yo encontré en varios sitios esa definición, no la entendí demasiado bien pero creo que significa que si se puede escribir esa desigualdad aplicada a cualquier variable, es que en algún punto, x tiende al límite a. Es cierto que es una definición un tanto abstracta..

En estos casos dice más una imagen que mil palabras:

Es para el límite de una función pero es parecido al límite de sucesiones. Si entiendes uno de los dos, entiendes el otro.

Sería un paso más allá definir el límite de funciones (que es con lo que yo me he quedado de límites):

$$\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$$

Aquí creo que te entiendo pero no es la mejor forma de expresarlo. Para $a=\infty$ da problemas. En todo caso, eso solo me informa que $f$ es contínua en $a$ con $a \in D(f)$. Existen numerosos ejemplos en que esa igualdad no se cumple pero en cambio el límite existe. Uno de ellos es:

$<br /> \lim_{x \to -3} \dst \frac{x^2 -9}{x+3}=-6<br />$

Pero $f(-3)$ no existe. En este caso, $\lim_{x \to a}f(x) \neq f(a)$