Secundaria Producto de matrices

[The Higgs Particle]

Me gustaría saber si está bien hecho este ejercicio de matrices:

"Demuestra que si $A \cdot B = A$ y $B \cdot {A}^{-1} = B$, entonces ${A} ^ {2} = A$"

Lo que he hecho es: $B \cdot {A}^{-1} = B \to {B}^{-1} \cdot B \cdot {A}^{-1} = {B}^{-1} \cdot B \to I \cdot {A}^{-1} = I$, y como ${A}^{-1} \cdot I = I \cdot {A}^{-1} = {A}^{-1}$, entonces ${A}^{-1} = I$.

Al mismo tiempo, ${I}^{-1} = I \to {A}^{-1} = A$. Y como ${I}^{2} = I \to {A}^{2} = A$

[Umbopa]

Re: Producto de matrices

yo creo que sí

[The Higgs Particle]

Re: Producto de matrices

Hoy mi profesor me ha dicho que no es posible porque sólo tomo una de las igualdades del enunciado, la de $B \cdot {A}^{-1} = B$ y no toco la otra. Es decir, que el resultado que obtengo, $A = I$, cumple esta igualdad, pero no ambas simultáneamente. Así mismo, me ha comentado que para una matriz cualquiera, ${({X}^{-1})}^{-1} \neq X$.

¿Cómo debería hacerlo entonces?

[Visitante]

Re: Producto de matrices

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Luego:

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No esta muy bien escrito, lo siento.
Pero creo que es correcto.

[Weip]

Re: Producto de matrices

Lo que plantea Rkv creo que está bien, aunque ha dado un poco de vuelta. De $AB=A$ se deduce que $B=I$, luego de $BA^{-1}=B$ se tiene que $B=BA$, es decir $A=I$. Esta vez se cumplen las dos igualdades porque $B$ también es la identidad.

[The Higgs Particle]

Re: Producto de matrices

Pero la solución de que $A = I$ entonces es correcta. Porque eso es precisamente lo que mi profesor negaba.

[Visitante]

Re: Producto de matrices

¿De dónde sacan A=I?
Yo no veo que ${A}^{ -1}=I$ implique que $A=I$.
Tendrías que demostrar eso en todo caso para seguir.
Lo que queda demostrado sin dudas es que B=I, entonces ${B}^{2 }=B$

[Weip]

Re: Producto de matrices

Pero la solución de que $A = I$ entonces es correcta. Porque eso es precisamente lo que mi profesor negaba.

$A=I$ solamente está mal, pero si dices también $B=I$, entonces es correcto. Fíjate que las condiciones se cumplen si las dos matrices son la identidad.

¿De dónde sacan A=I?
Yo no veo que ${A}^{ -1}=I$ implique que $A=I$.
Tendrías que demostrar eso en todo caso para seguir.

Multiplica ambos lados por $A$. Te queda: $AA^{-1}=A$.

Lo escribo paso por paso y me decís qué os parece:

$AB=A$ implica $A^{-1}AB=A^{-1}A=I$. Por tanto $B=I$. Ahora $BA^{-1}=B$ implica $BA^{-1}A=BA$. $B=I$ lo hemos deducido antes, así que $A=I$. Además, las igualdades iniciales se verifican. Y por supuesto $A^2=A$.

Edito:

Fijaos que $A^2-A=0$ solo tiene dos soluciones: $A=0$ y $A=I$. $A=0$ no cumple porque no tiene inversa, así que...

[The Higgs Particle]

Re: Producto de matrices

Si cuando mi profesor me dijo que no había usado la primera igualdad yo le respondí que con ella obteníamos que $B = I$ (utilicé un procedimiento igual al tuyo), pero siguió diciéndome que no. Supongo que no me explicaría bien (o que estaba hasta las narices de mí y quería me me marchara ).

[Umbopa]

Re: Producto de matrices

Por cierto $(A^{-1})^{-1} = A$ para matrices regulares, es decir para matrices con determinante distinto de cero (que tiene una y solo una matriz inversa)

[arivasm]

Re: Producto de matrices

Así mismo, me ha comentado que para una matriz cualquiera, ${({X}^{-1})}^{-1} \neq X$.

¡Córcholis! No logro ver cómo es eso posible!!

Admito que sea así y que $(X^{-1})^{-1}=P$. Multipliquemos ambos lados por $X^{-1}$: $(X^{-1})^{-1}\cdot X^{-1}=P\cdot X^{-1}$. Por definición de matriz inversa el lado izquierdo es la identidad, luego $P\cdot X^{-1}=I$. Multipliquemos ambos lados por $X$, por la derecha, $(P\cdot X^{-1})\cdot X = I \cdot X = X$. Por la propiedad asociativa del producto de matrices aplicado al lado izquierdo tenemos que $P\cdot(X\cdot X^{-1})=X$. Por definición de matriz inversa $P\cdot I = X$, luego $(X^{-1})^{-1}=P=X$

- - - Actualizado - - -

Por cierto $(A^{-1})^{-1} = A$ para matrices regulares, es decir para matrices con determinante distinto de cero (que tiene una y solo una matriz inversa)

Por favor, desasnarme. ¿Cómo es eso de la inversa de una matriz con determinante nulo? ¿Dónde puedo leer al respecto?

[Umbopa]

Re: Producto de matrices

Por favor, desasnarme. ¿Cómo es eso de la inversa de una matriz con determinante nulo? ¿Dónde puedo leer al respecto?

No hay matriz inversa si el determinante es cero jeje.

Es decir arivasm y yo concluimos que si la matriz tiene inversa se cumple $(A^{-1})^{-1} = A$ no? xD

[The Higgs Particle]

Re: Producto de matrices

(...) Por definición de matriz inversa $P\cdot I = X$, luego $(X^{-1})^{-1}=P=X$

¡Bien por mi profesor! jajaja. Muchas gracias a todos.