Secundaria Matrices II

[The Higgs Particle]

Hola; ¿Es correcto este ejercicio?

"Sean $X, Y , Z$ tres matrices tales que es posible efectuar ${Z}^{t} - XY$. ¿Es posible efectuar ${(Y \cdot Z)}^{t} + {X}^{t}$ ?"
Empiezo definiendo las matrices:

${X}_{ (a \times b)} \to {X}^{t}_{(b \times a)}$
${Y}_{(c \times d) } \to {Y}^{t}_{(d \times c)}$
${Z}_{(e \times f) } \to {Z}^{t}_{(f \times e)}$

Si es posible efectuar la resta que me aparece, entonces las dimensiones de ${Z}^{t}$ deben ser iguales a las de $XY$, donde ${XY}_{(a \times d)}$. Por lo tanto, $f = a$ y, al mismo tiempo, $e = d$.
Redefino la matriz $Z \to {Z}_{(d \times a) }$; ${Z}^{t}_{(a \times d)}$

Para que se cumpla la nueva operación propuesta, la dimensión de ${(Y \cdot Z)}^{t}$ debe ser igual a la de ${X}^{t}$, y ${(Y \cdot Z)}^{t} = {Z}^{t} \cdot {Y}^{t}$. Por ello, y sabiendo que ${{Z}^{t} \cdot {Y}^{t}}_{(a \times c)}$, saco que $a = b$ y $c = a$. Es decir, ${X}_{(a \times a) }$.

Por todo ello, para que se cumplan ambas igualdades:
${X}_{ (a \times a)}$
${Y}_{(a \times d) }$
${Z}_{(d \times a) }$

Es decir, la matriz $X$ debe ser una matriz cuadrada de orden $a$. Además, la matriz $Y$ debe tener $a$ número de columnas y $d$ número de filas, mientras que la matriz $Z$ debe tener $d$ número de columnas y $a$ número de filas.

[Weip]

Re: Matrices II

Cuidado: ${(Y \cdot Z)}^{t} = {Z}^{t} \cdot {Y}^{t}$.

[The Higgs Particle]

Re: Matrices II

Eso me pasa por ir con prisas. Lo modifico ahora

- - - Actualizado - - -

Weip, ¿está bien ahora?

[Weip]

Re: Matrices II

Weip, ¿está bien ahora?

Ostras, pensaba que ya había comentado todo y me he olvidado del hilo jajaja.

Por lo tanto, $Z = {Y}^{t}$

¿Esto de donde lo has deducido? Piensa que el contenido de $Z$ no tiene porqué ser el de $Y^t$. Lo demás está bien.

Espero haberte ayudado.

[arivasm]

Re: Matrices II

Tus conclusiones son correctas, salvo ésta:

Por lo tanto, $Z = {Y}^{t}$

No es que deba cumplirse esa igualdad, sino que Z y la transpuesta de Y deben tener la misma dimensión (pero pueden ser diferentes).

PD: Veo que tardé demasiado en escribir la respuesta y que Weip ya había contestado.

[The Higgs Particle]

Re: Matrices II

Cierto. Que $Z = {Y}^{t}$ es sólo una de las infinitas matrices que tienen esas dimensiones "invertidas" $a \times b \to b \times a$. Ya lo he corregido. Gracias!