1r ciclo Métodos matemáticos superposición de ondas

[alexpglez]

Hola, he estado buscando y no he encontrado demasiado por internet..
Me preguntaba, si no es mucha molestia, que alguien me pudiese explicar los métodos matemáticos para tratar las sumas de ondas. Suma de senos, cosenos, exponenciales, y suma de senos y cosenos con notación fasorial. (Siento no explicarme demasiado bien, pero no tengo mucha idea).
Si por ejemplo tengo:

$$x_1=A_1\sin (\omega t + \varphi _1)$$

$$x_2=A_2\sin (\omega t + \varphi _2)$$

Y quiero saber:

$$x=x_1+x_2$$

Cojo las partes imaginarias y las sumo¿?

$$A_1e^{i\omega t}e^{i\varphi _1}+A_2e^{i\omega t}e^{i\varphi _2}=e^{i\omega t}(A_1e^{i\varphi _1}+A_2e^{i\varphi _2})$$

Y ahora que tendría que hacer¿?

Un saludo, gracias

[arivasm]

Re: Métodos matemáticos superposición de ondas

Creo que es esto lo que buscas: http://es.wikipedia.org/wiki/Identid...uma_a_producto

[alexpglez]

Re: Métodos matemáticos superposición de ondas

No, no es eso lo que busco, es esto otro, http://laplace.us.es/wiki/index.php/...3%B3n_de_ondas en el apartado 2.1.2. Creo que lo entiendo más o menos. Según dice ahí, puedo buscar la solución como hice antes y finalizarlo encontrando un número
complejo.

$$A_Re^{i\varphi _R}=A_1e^{i\varphi _1}+A_2e^{i\varphi _2}$$

Donde A_R es la amplitud y \varphi _R de la nueva fase, para poder escribir el resultado como:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Cálculo el nuevo número complejo:

$$A_R^2=(A_1e^{i\varphi _1}+A_2e^{i\varphi _2})(A_1e^{-i\varphi _1}+A_2e^{-i\varphi _2})$$

$$A_1^2+A_2^2+A_1A_2(e^{i(\varphi _1 - \varphi _2)}+e^{-i(\varphi _1 - \varphi _2)})=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos (\varphi _1 - \varphi _2)$$

$$\varphi _R=\arctan \frac{Im}{Re}=\arctan \frac{A_1\sin \varphi _1 + A_2\sin \varphi _2}{A_1\cos \varphi _1 + A_2\cos \varphi _2}$$

Sería así¿?

[Weip]

Re: Métodos matemáticos superposición de ondas

Sería así¿?

Más o menos. No pongas el $Im$ y el $Re$ sueltos, son aplicaciones y tienen sus argumentos. ¿Podrías detallar más los pasos? Sé que el resultado era de la forma que pones pero no me acuerdo exactamente de qué había dentro de la arcotangente. Lo intuyo un poco por la forma en que tratas $A_R$ y $\varphi_R$, pero por estar seguro.

[alexpglez]

Re: Métodos matemáticos superposición de ondas

Más o menos. No pongas el $Im$ y el $Re$ sueltos, son aplicaciones y tienen sus argumentos. ¿Podrías detallar más los pasos? Sé que el resultado era de la forma que pones pero no me acuerdo exactamente de qué había dentro de la arcotangente. Lo intuyo un poco por la forma en que tratas $A_R$ y $\varphi_R$, pero por estar seguro.

Sí, lo escribo entero (y separado, que me parece que cuando manejas fracciones las ecuaciones se juntan), no sé muy bien el simbolismo para indicar esto de una manera clara, así que lo pensaba dejar así que se entiende bien aunque no sea correcto.

$$x_1=A_1\sin (\omega t + \varphi _1) = \Im (A_1e^{i(\omega t + \varphi _1)})$$

$$x_2=A_2\sin (\omega t + \varphi _2)= \Im (A_1e^{i(\omega t + \varphi _2)})$$

Llamo X mayúsculas a la función dentro del Im.
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] La suma busquemos que sea:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$X=X_1+X_2=A_1e^{\varphi _1}e^{i\omega t}+A_1e^{\varphi _2}e^{i\omega t}=(A_1e^{\varphi _1}+A_2e^{\varphi _2})e^{i\omega t}$$

Uso la letra F para designar a la cantidad entre parentesis que es igual a un número complejo que calcular:

$$F=A_Re^{i(\varphi _R)}=A_1e^{\varphi _1}+A_2e^{\varphi _2}$$

$$A_R=\sqrt{FF^{\ast}}=\sqrt{(A_1e^{\varphi _1}+A_2e^{\varphi _2})(A_1e^{-\varphi _1}+A_2e^{-\varphi _2})}$$

$$A_R=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos (\varphi _1 - \varphi _2)}$$

$$\varphi=\arctan \frac{\Im (F)}{\Re (F)}=\arctan \frac{A_1\sin \varphi _1 + A_2\sin \varphi _2}{A_1\cos \varphi _1 + A_2\cos \varphi _2}$$

Y obtenemos x cogiendo la parte imaginaria a X:

$$x=\Im(X)=A_R \sin (\omega t + \varphi _R)$$

$$A_R=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos (\varphi _1 - \varphi _2)}$$

$$\varphi=\arctan \frac{A_1\sin \varphi _1 + A_2\sin \varphi _2}{A_1\cos \varphi _1 + A_2\cos \varphi _2}$$

Así es como en esa página indica y en otros sitios he leido algo también que es así.

[Weip]

Re: Métodos matemáticos superposición de ondas

Sí, lo escribo entero (y separado, que me parece que cuando manejas fracciones las ecuaciones se juntan), no sé muy bien el simbolismo para indicar esto de una manera clara, así que lo pensaba dejar así que se entiende bien aunque no sea correcto.

$$x_1=A_1\sin (\omega t + \varphi _1) = \Im (A_1e^{i(\omega t + \varphi _1)})$$

$$x_2=A_2\sin (\omega t + \varphi _2)= \Im (A_1e^{i(\omega t + \varphi _2)})$$

Llamo X mayúsculas a la función dentro del Im.
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] La suma busquemos que sea:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$X=X_1+X_2=A_1e^{\varphi _1}e^{i\omega t}+A_1e^{\varphi _2}e^{i\omega t}=(A_1e^{\varphi _1}+A_2e^{\varphi _2})e^{i\omega t}$$

Uso la letra F para designar a la cantidad entre parentesis que es igual a un número complejo que calcular:

$$F=A_Re^{i(\varphi _R)}=A_1e^{\varphi _1}+A_2e^{\varphi _2}$$

$$A_R=\sqrt{FF^{\ast}}=\sqrt{(A_1e^{\varphi _1}+A_2e^{\varphi _2})(A_1e^{-\varphi _1}+A_2e^{-\varphi _2})}$$

$$A_R=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos (\varphi _1 - \varphi _2)}$$

$$\varphi=\arctan \frac{\Im (F)}{\Re (F)}=\arctan \frac{A_1\sin \varphi _1 + A_2\sin \varphi _2}{A_1\cos \varphi _1 + A_2\cos \varphi _2}$$

Y obtenemos x cogiendo la parte imaginaria a X:

$$x=\Im(X)=A_R \sin (\omega t + \varphi _R)$$

$$A_R=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos (\varphi _1 - \varphi _2)}$$

$$\varphi=\arctan \frac{A_1\sin \varphi _1 + A_2\sin \varphi _2}{A_1\cos \varphi _1 + A_2\cos \varphi _2}$$

Así es como en esa página indica y en otros sitios he leido algo también que es así.

En $X_1$, $X_2$, y en $X$ te has olvidado la unidad imaginaria al separar. Ten en cuenta que $e^{i(\varphi+\omega t)}=e^{i\varphi} e^{i \omega t}$. $A_R$ te da bien pero para que al calcular todo cuadre necesitas las $i$ en los exponentes. Lo demás está bien.

[alexpglez]

Re: Métodos matemáticos superposición de ondas

En $X_1$, $X_2$, y en $X$ te has olvidado la unidad imaginaria al separar. Ten en cuenta que $e^{i(\varphi+\omega t)}=e^{i\varphi} e^{i \omega t}$. $A_R$ te da bien pero para que al calcular todo cuadre necesitas las $i$ en los exponentes. Lo demás está bien.

Si lo sé, y lo hice suponiendo eso, es por eso que después he seguido operando como si estuviese la i ahí, aparte otro fallo de Latex, creo que he escrito en el X1, X2 y X, el igual y todo lo que viene después en el exponente y por eso se ve tan pequeño.

Lo quería preguntar ahora ya conociendo este método, es cuales son las propiedades de Im y Re para que se pueda hacer esto. Entiendo el paso de hallar las funciones complejas y operar con ellas, pero no el de pasar x1 y x2 a X1 y X2 para hallar X para que finalmente se pueda pasar a x simplemente cogiendo la parte imaginaria (o definiendo x1 y x2 como parte real de X1 y X2, supongo que después en X también habría que coger la parte real no¿?). Es decir, por qué este método funciona¿?.

[Weip]

Re: Métodos matemáticos superposición de ondas

Es decir, por qué este método funciona¿?.

Porque las funciones de la forma de un seno, un coseno o una combinación lineal de los dos son soluciones de la ecuación de onda. Da igual lo de coger la parte real o la parte imaginaria
($x$ lo puedes poner como un seno o como un coseno; da absolutamente igual, son la misma ecuación pero desfasada). Lo que pasa es que estamos haciendo física así que preferimos que las magnitudes que luego vayamos a medir sean reales porque las complejas no tienen un sentido real. En base a eso, el proceso es el que es para que todo cuadre y que los resultados finales acaben siendo reales (en el sentido de número real). No sé si habrá alguna razón más profunda, a mi siempre me enseñaron que la elección es libre.

[alexpglez]

Re: Métodos matemáticos superposición de ondas

Quieres decir que en resumen, esto es válido¿?

$$A_1\sin (\omega t + \varphi_1)+A_2\sin (\omega t + \varphi_2)=\Im [A_1e^{i(\omega t + \varphi_1)}]+\Im [A_2e^{i(\omega t + \varphi_2)}]=$$

$$\Im [A_1e^{i(\omega t + \varphi_1)}+A_2e^{i(\omega t + \varphi_2)}]=\Im [A_Re^{i(\omega t + \varphi_R)}]=A_R \sin (\omega t + \varphi_R)$$

Teniendo que solucionar:

$$A_1e^{i(\omega t + \varphi_1)}+A_2e^{i(\omega t + \varphi_2)}=A_Re^{i(\omega t + \varphi_R)}$$

Es decir:

$$A_1e^{i\varphi_1}+A_2e^{i\varphi_2}=A_Re^{i\varphi_R}$$

¿?

PD: pues ahora que lo escribo así, parece totalmente lógico esto.

[Weip]

Re: Métodos matemáticos superposición de ondas

Quieres decir que en resumen, esto es válido¿?

$$A_1\sin (\omega t + \varphi_1)+A_2\sin (\omega t + \varphi_2)=\Im [A_1e^{i(\omega t + \varphi_1)}]+\Im [A_2e^{i(\omega t + \varphi_2)}]=$$

$$\Im [A_1e^{i(\omega t + \varphi_1)}+A_2e^{i(\omega t + \varphi_2)}]=\Im [A_Re^{i(\omega t + \varphi_R)}]=A_R \sin (\omega t + \varphi_R)$$

Teniendo que solucionar:

$$A_1e^{i(\omega t + \varphi_1)}+A_2e^{i(\omega t + \varphi_2)}=A_Re^{i(\omega t + \varphi_R)}$$

Es decir:

$$A_1e^{i\varphi_1}+A_2e^{i\varphi_2}=A_Re^{i\varphi_R}$$

¿?

PD: pues ahora que lo escribo así, parece totalmente lógico esto.

Sí. Pensaba que eras consciente de ello xD. Y que si quieres poner un $\Re$ en vez de un $\Im$, también puedes (siempre que sea consistente con el criterio que has usado para escribir las ondas iniciales). Cuando te pedí que lo detallaras también me refería a que me explicitaras lo que acabas de escribir.