Secundaria Secundaria

[Jorge 2014]

Tengo este problema: "Dada la función $y = (x - a) (x - b) + x$, demostrar que $\frac{a + b}{2}$ $\epsilon (a, b)$".

Sé que se puede demostrar de muchísimas maneras, incluso por el Th. Darboux. Pero lo único que necesito saber es si esto también es posible.

El Th Lagrange nos dice que si $f(x)$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, entonces $\exists$ $c$ $\epsilon$ $[a, b]$ $|$ $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$.

Tengo que $f(a) = a$, y que $f(b) = b$, por lo tanto: $f'(c) = \frac{b - a}{b - a}$. Al mismo tiempo, $f(c) = {c}^{2} - ac -bc +c + ab \to f'(c) = 2c - a -b +1$. Por ello, $2c - a -b +1 = 1 \to c = \frac{a + b}{2}$.

Es decir, que el punto que verifica lo que dice el Th. de Lagrange y que, por el enunciado del propio teorema se encuentra en el intervalo $(a, b)$, es $c = \frac{a + b}{2}$, el que nos decía el problema.

[Weip]

Re: Secundaria

Tengo este problema: "Dada la función $y = (x - a) (x - b) + x$, demostrar que $\frac{a + b}{2}$ $\epsilon (a, b)$".

Sé que se puede demostrar de muchísimas maneras, incluso por el Th. Darboux. Pero lo único que necesito saber es si esto también es posible.

El Th Lagrange nos dice que si $f(x)$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, entonces $\exists$ $c$ $\epsilon$ $[a, b]$ $|$ $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{2}$.

Tengo que $f(a) = a$, y que $f(b) = b$, por lo tanto: $f'(c) = \frac{b - a}{b - a}$. Al mismo tiempo, $f(c) = {c}^{2} - ac -bc +c \to f'(c) = 2c - a -b +1$. Por ello, $2c - a -b +1 = 1 \to c = \frac{a + b}{2}$.

Es decir, que el punto que verifica lo que dice el Th. de Lagrange y que, por el enunciado del propio teorema se encuentra en el intervalo $(a, b)$, es $c = \frac{a + b}{2}$, el que nos decía el problema.

Cuando aplicas el Teorema de Lagrange, $c \in (a, b)$. Es importante. Otra cosa, ¿de dónde sale el $2$ del denominador de $\frac{f(b) - f(a)}{2}$? Ahí va $b-a$, pero no sé de donde deduces que $b-a=2$. Luego en $f(c)$ te has dejado el factor $ab$ al multiplicar.

Arregla eso y mira a ver si puedes continuar.

[Jorge 2014]

Re: Secundaria

¿de dónde sale el $2$ del denominador de $\frac{f(b) - f(a)}{2}$? Ahí va $b-a$, pero no sé de donde deduces que $b-a=2$. Luego en $f(c)$ te has dejado el factor $ab$ al multiplicar

Eso se me ha colado. De hecho, si fuera partido de 2, no podría hacerlo. Y lo del factor $ab$ es cierto que me lo he dejado, pero por suerte, al ser constante, su derivada es 0 y no afecta a mi resultado.

[Weip]

Re: Secundaria

Pues ahora sí, lo tienes perfecto.