Secundaria Rango matriz

[The Higgs Particle]

He hecho este ejercicio pero me han surgido algunas dudas.

1) Estudia el rango:

$A = \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 + b & -b \\ 1 & b & 1 + b \end{array}\right)$

$|1| \neq 0 \to$ $Rang (A) \geqslant 1$

Matriz ampliada: $\left|\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 1 & 1 + b \end{array}\right| = b - 1 \to \left|\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 1 & 1 + b \end{array}\right| = 0 \Leftrightarrow b = 1$

$A = \left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 + b & -b \\ 1 & b & 1 + b \end{array}\right| = 2b \cdot (b - 1) \to A = \left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 + b & -b \\ 1 & b & 1 + b \end{array}\right|$ $= 0 \Leftrightarrow b = 0$ y $b =1$

Por lo tanto, si $b = 0 \to Rang(A) = 2$; si $b = 1 \to Rang(A) = 1$; si $b \neq 0$ y $b \neq 1 \to Rang (A) = 3$

• Pero si al calcular el determinante de $3 \times 3$, es decir, al calcular $|A|$, no me hubiese salido que se anulaba al ser $b = 1$, ¿el rango de la matriz sería 3? Porque, aunque el valor $b = 1$ no haga 0 el determinante de A, sí que lo hace al de $2 \times 2$ inicial. Es como preguntar, si anula un determinante de orden inferior, ¿ya no puede hacer distintos de 0 a otro de mayor orden?
• Cuando hago esto, y amplío la matriz inicial de orden 1 a orden 2, ¿influyo qué valores cojo? Quiero decir, a lo mejor si cojo $\left|\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 1 & 1 + b \end{array}\right|$ no me sale lo mismo que en $\left|\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & - b\end{array}\right|$. Es decir, hay varias combinaciones posibles a la hora de ampliar la matriz, ¿cómo sé que no me estoy comiendo valores o que está mal? (a lo mejor en otra combinación me salía que el determinante $2 \times 2$ sí que era posible para $b =1$).

[gdonoso94]

Re: Rango matriz

Hola THP (si me permites acortar tu nombre :P):

No voy a contestarte directamente a las preguntas, voy a darte mi opinión sobre tu método de resolución. Evidentemente, es correcto, pero como te has dado cuenta, si coges menores distintos puedes llegar a cosas extrañas, yo personalmente no comulgo con la opción de ir de abajo a arriba. Me explico: creo que es más fácil hacer directamente el determinante 3x3 y darte cuenta de los valores que anulan el determinante. Si no son esos valores ya tenemos claro que el rango para todo b distinto de esos va a ser 3. Ahora, como afortunadamente solo tenemos dos valores posibles de b, discutimos en función de esos, escribimos la matriz con ese valor y ahora sí buscamos un menor de orden 2 distinto de 0. Si este existe el rango será 2, si no, el rango será 1 (pues el rango de una matriz en la que al menos un elemento es distinto de 0 es 1.

Espero que esto te ayude para los próximos ejercicios.

Saludos!

[The Higgs Particle]

Re: Rango matriz

Hola THP (si me permites acortar tu nombre :P):

Jajajaja, como más te guste


Bueno, a ver si lo he entendido. Tú harías:

$|A| = \left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 + b & -b \\ 1 & b & 1 + b \end{array}\right| = 2b \cdot (b -1 )$.

Por lo tanto, $|A| = 0 \Leftrightarrow b = 0$ o si $b = 1$. Entonces:

a) Caso I: Tenemos que $Rang (A) = 3 \Leftrightarrow b \neq 0$ y $b \neq 1$.

b) Caso II: Si $b = 1$, tenemos

${A}_{1} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right) \to |{A}_{1}| = 0$, y como ${F}_{1} = {F}_{2}$, podemos eliminarla, quedando: ${A}_{1} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)$, pero en este caso $Rang(A) = 2$, algo que antes no me salía.

c) Caso III: Si $b = 0$, tenemos:

${A}_{0} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \to |{A}_{0}| = 0$. Haciendo ${F }_{2} '$ $= {F}_{2} - {F}_{1}$ y ${F }_{3} '$ $= {F}_{3} - {F}_{1}$:

${A}_{0} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \end{array}\right) \to |{A}_{0}| = \left|\begin{array}{rr}-1 & 1 \\ -2 & 2 \end{array}\right| = 0$. Por lo tanto, $rang (A) = 1$, cosa que tampoco me salía antes.

[Weip]

Re: Rango matriz

• Pero si al calcular el determinante de $3 \times 3$, es decir, al calcular $|A|$, no me hubiese salido que se anulaba al ser $b = 1$, ¿el rango de la matriz sería 3? Porque, aunque el valor $b = 1$ no haga 0 el determinante de A, sí que lo hace al de $2 \times 2$ inicial. Es como preguntar, si anula un determinante de orden inferior, ¿ya no puede hacer distintos de 0 a otro de mayor orden?
• Cuando hago esto, y amplío la matriz inicial de orden 1 a orden 2, ¿influyo qué valores cojo? Quiero decir, a lo mejor si cojo $\left|\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 1 & 1 + b \end{array}\right|$ no me sale lo mismo que en $\left|\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & - b\end{array}\right|$. Es decir, hay varias combinaciones posibles a la hora de ampliar la matriz, ¿cómo sé que no me estoy comiendo valores o que está mal? (a lo mejor en otra combinación me salía que el determinante $2 \times 2$ sí que era posible para $b =1$).

A la primera pregunta, no tiene porqué. Que se te anule un solo menor no quiere decir nada porque puede existir otro que no se anule. Es por eso que si te van dando cero has de comprobar los demás. Una vez todos sean cero, has acabado. Y si no, pues aumentas el orden de los menores.

A la segunda pregunta, si al menos uno de ellos es diferente de cero, pasa de los demás y amplía la matriz. Si todos son cero, has acabado. Por lo tanto sí influye que menor coges. Aunque solo te interesa si se anula o no.

Edito, que no he visto tu anterior mensaje. Te estás liando. En c), solo has comprobado un menor. ¿Y los demás? Porque $\left|\begin{array}{rr}2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right|=1$. Uno de ellos no se anula con lo que el rango es mayor o igual que dos. El determinante de orden 3 sí se anula con lo que el rango es 2.

[gdonoso94]

Re: Rango matriz

Jajajaja, como más te guste


Bueno, a ver si lo he entendido. Tú harías:

$|A| = \left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 + b & -b \\ 1 & b & 1 + b \end{array}\right| = 2b \cdot (b -1 )$.

Por lo tanto, $|A| = 0 \Leftrightarrow b = 0$ o si $b = 1$. Entonces:

a) Caso I: Tenemos que $Rang (A) = 3 \Leftrightarrow b \neq 0$ y $b \neq 1$.

b) Caso II: Si $b = 1$, tenemos

${A}_{1} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right) \to |{A}_{1}| = 0$, y como ${F}_{1} = {F}_{2}$, podemos eliminarla, quedando: ${A}_{1} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)$, pero en este caso $Rang(A) = 2$, algo que antes no me salía.

c) Caso III: Si $b = 0$, tenemos:

${A}_{0} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \to |{A}_{0}| = 0$. Haciendo ${F }_{2} '$ $= {F}_{2} - {F}_{1}$ y ${F }_{3} '$ $= {F}_{3} - {F}_{1}$:

${A}_{0} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \end{array}\right) \to |{A}_{0}| = \left|\begin{array}{rr}-1 & 1 \\ -2 & 2 \end{array}\right| = 0$. Por lo tanto, $rang (A) = 1$, cosa que tampoco me salía antes.

Así es, así lo haría yo. De todas maneras tienes un error al que ya te ha contestado Weip, así que queda claro. Tienes que comprobar todos los posibles menores.

Un saludo.

[The Higgs Particle]

Re: Rango matriz

En c), solo has comprobado un menor. ¿Y los demás? Porque $\left|\begin{array}{rr}2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right|=1$. Uno de ellos no se anula con lo que el rango es mayor o igual que dos. El determinante de orden 3 sí se anula con lo que el rango es 2.

Me estoy liando porque me habían dicho que cuando puedes hacer una línea del tipo $1, 0, 0, ..., 0$, podemos suprimirla (a ella y a la línea adjunta), tal y como he hecho yo para calcular el determinante. ¿Es entonces incorrecto?

${A}_{0} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \end{array}\right) \to |{A}_{0}| = \left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \end{array}\right|$ $= \left|\begin{array}{rr}-1 & 1 \\ -2 & 2 \end{array}\right| = 0$

- - - Actualizado - - -

Me acabo de dar cuenta que lo que he hecho es calcular otra vez $|{A}_{0}|$, pero de una forma simplificada. Es decir, he vuelto a demostrar que, para $b = 0$, el rango es menor que tres.

[Weip]

Re: Rango matriz

Me estoy liando porque me habían dicho que cuando puedes hacer una línea del tipo $1, 0, 0, ..., 0$, podemos suprimirla (a ella y a la línea adjunta), tal y como he hecho yo para calcular el determinante. ¿Es entonces incorrecto?

${A}_{0} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \end{array}\right) \to |{A}_{0}| = \left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \end{array}\right|$ $= \left|\begin{array}{rr}-1 & 1 \\ -2 & 2 \end{array}\right| = 0$

- - - Actualizado - - -

Me acabo de dar cuenta que lo que he hecho es calcular otra vez $|{A}_{0}|$, pero de una forma simplificada. Es decir, he vuelto a demostrar que, para $b = 0$, el rango es menor que tres.

Cuando tienes una línea $1, 0, 0, ..., 0$ no puedes hacer nada. Si fuera todo ceros el determinante sería nulo, pero con el $1$ por ahí en medio no. Yo creo que te estás refiriendo a cuando una fila es proporcional a otra, que con la transformación adecuada puedes hacer una fila de ceros y entonces entramos en le caso anterior.

Ese determinante está bien. Tienes entonces que el rango de $A_0$ es 2 porque el único menor de orden 3 es nulo y existe uno de orden 2 diferente de cero. Es lo mismo que he explicado en mi anterior mensaje de hecho.

Edito: Ah vale creo que te he entendido, te refieres a la regla de Laplace. Lo puedes hacer cuando quieras sí. No hace falta que tengas una fila de $1, 0, 0, ..., 0$ para aplicarla, vale para todos los determinantes del mundo, de cualquier orden. Aunque contra más ceros, más fácil es calcular el determinante por este método. No te olvides de las permutaciones de signos. No lo has dicho pero supongo que lo tienes en cuenta.

[The Higgs Particle]

Re: Rango matriz

Exactamente, a Laplace me refería. En este caso voy a tener para toda la columna (excepto para el primero, que es igual a 1) que ${(-1)}^{i + j} \cdot {a}_{ij} \cdot {A}_{ij} = 0$