Otras carreras Ortogonalidad de Funciones

[Gambitoalekhine]

Hola, estoy estudiando series y transformada de Fourier. Como sabrán los que conozcan esta rama, el concepto de ortogonalidad es muy necesario. La literatura que estoy usando utiliza una analogía entre vectores y funciones. Lo que plantea es, en mis palabras, como sigue.

Primero hace uso de conocimiento básico de álgebra lineal:
Sabemos que, dado un espacio vectorial de n dimensiones, se cumple que cualquier vector de ese espacio se puede expresar como una combinación lineal de n vectores mutuamente ortogonales, siempre y cuando esos n vectores pertenezcan a un conjunto ortogonal completo o cerrado. También sabemos que si dos vectores son ortogonales, su producto punto o escalar es igual a cero, i.e.: Dados dos vectores a y b, $a\cdot b=0$.

Luego, emplea el concepto de ortogonalidad con funciones:
Dos funciones son ortogonales en el intervalo (t1,t2) si cumplen que:

$$\int{f}_{1}(t){f}_{2}(t)dt=0$$

(aclaro que la integral va definida de t1 a t2).

Puede verse que hay una similitud entre ambos conceptos de ortogonalidad. Además, el autor (y todas las obras similares) usan este concepto para todos los tipos de funciones.

Hasta donde yo sé, para saber si dos objetos cualesquiera son o no vectores, es necesario verificar dos propiedades: superposición y homogeneidad.

Mi duda: ¿Por qué se usa un concepto del álgebra lineal (ortogonalidad) con cualquier tipo de funciones cómo si estas fueran elementos de un espacio vectorial si muchas de éstas no cumplen las propiedades arriba mencionadas (las más, ni son lineales)?
Por ejemplo, para representar una función en serie trigonométrica de Fourier, se comprueba, por ejemplo, que las funciones $sen(n{\omega}_{0 }t)$ y $cos(n{\omega}_{0}t)$ son ortogonales, es decir, que en un intervalo finito (t1, t2):

$$\int sen(n{\omega}_{0 }t)cos(n{\omega}_{0}t)dt=0$$

Sin embargo, estas funciones (sen y cos) ni si quiera son lineales.

Saludos.

[arivasm]

Re: Ortogonalidad de Funciones

Hasta donde yo sé, para saber si dos objetos cualesquiera son o no vectores, es necesario verificar dos propiedades: superposición y homogeneidad.

No sé a qué te refieres con las propiedades "homogeneidad y superposición".

Vector es el nombre que recibe todo elemento que pertenece a un espacio vectorial. Y un espacio vectorial es un conjunto de elementos que satisfacen ciertas propiedades (puedes repasarlas, por ejemplo aquí: http://www.google.es/url?sa=t&rct=j&...ei_repZIn7HtBw)

[pod]

Re: Ortogonalidad de Funciones

Hola, estoy estudiando series y transformada de Fourier. Como sabrán los que conozcan esta rama, el concepto de ortogonalidad es muy necesario. La literatura que estoy usando utiliza una analogía entre vectores y funciones. Lo que plantea es, en mis palabras, como sigue.

Primero hace uso de conocimiento básico de álgebra lineal:
Sabemos que, dado un espacio vectorial de n dimensiones, se cumple que cualquier vector de ese espacio se puede expresar como una combinación lineal de n vectores mutuamente ortogonales, siempre y cuando esos n vectores pertenezcan a un conjunto ortogonal completo o cerrado. También sabemos que si dos vectores son ortogonales, su producto punto o escalar es igual a cero, i.e.: Dados dos vectores a y b, $a\cdot b=0$.

Luego, emplea el concepto de ortogonalidad con funciones:
Dos funciones son ortogonales en el intervalo (t1,t2) si cumplen que:

$$\int{f}_{1}(t){f}_{2}(t)dt=0$$

(aclaro que la integral va definida de t1 a t2).

Puede verse que hay una similitud entre ambos conceptos de ortogonalidad. Además, el autor (y todas las obras similares) usan este concepto para todos los tipos de funciones.

Hasta donde yo sé, para saber si dos objetos cualesquiera son o no vectores, es necesario verificar dos propiedades: superposición y homogeneidad.

Mi duda: ¿Por qué se usa un concepto del álgebra lineal (ortogonalidad) con cualquier tipo de funciones cómo si estas fueran elementos de un espacio vectorial si muchas de éstas no cumplen las propiedades arriba mencionadas (las más, ni son lineales)?
Por ejemplo, para representar una función en serie trigonométrica de Fourier, se comprueba, por ejemplo, que las funciones $sen(n{\omega}_{0 }t)$ y $cos(n{\omega}_{0}t)$ son ortogonales, es decir, que en un intervalo finito (t1, t2):

$$\int sen(n{\omega}_{0 }t)cos(n{\omega}_{0}t)dt=0$$

Sin embargo, estas funciones (sen y cos) ni si quiera son lineales.

Saludos.

En un vector del algebra lineal, $a_i$ no es una función lineal de $i$. Por ese mismo motivo, $f(t)$ no tiene por qué ser una función lineal de $t$.

Lo que tiene que cumplir las propiedades no es esa función individual. Por ejemplo, se tiene que cumplir que la suma de dos vectores sea un vector. Y eso es cierto, la suma de dos funciones de t es una función de t. También se tiene que cumplir funciones de linealidad del producto escalar,

$$\begin{aligned}<br /> \Big< f_1 + f_2 \Big| f_3 \Big> & = \int \Big( f_1(t) + f_2(t) \Big) \, f_3(t) \ \dd t \\ <br /> &= \int f_1(t) f_3(t) \ \dd t + \int f_2(t) f_3(t) \ \dd t \\<br /> &= \Big< f_1 \Big| f_3 \Big> + \Big< f_2 \Big| f_3 \Big> .<br /> \end{aligned}$$

[angel relativamente]

Re: Ortogonalidad de Funciones

Añado a lo ya dicho que las funciones que se definen como bases de Fourier pertenecen a un espacio vectorial conocido como el espacio $\mathbb{L}^2$. Puedes ver información sobre la definción de los espacios Lp.

Saludos

[Gambitoalekhine]

Re: Ortogonalidad de Funciones

En un vector del algebra lineal, $a_i$ no es una función lineal de $i$. Por ese mismo motivo, $f(t)$ no tiene por qué ser una función lineal de $t$.

Lo que tiene que cumplir las propiedades no es esa función individual. Por ejemplo, se tiene que cumplir que la suma de dos vectores sea un vector. Y eso es cierto, la suma de dos funciones de t es una función de t. También se tiene que cumplir funciones de linealidad del producto escalar,

$$\begin{aligned}<br /> \Big< f_1 + f_2 \Big| f_3 \Big> & = \int \Big( f_1(t) + f_2(t) \Big) \, f_3(t) \ \dd t \\ <br /> &= \int f_1(t) f_3(t) \ \dd t + \int f_2(t) f_3(t) \ \dd t \\<br /> &= \Big< f_1 \Big| f_3 \Big> + \Big< f_2 \Big| f_3 \Big> .<br /> \end{aligned}$$

Oye no entiendo porqué pones el producto escalar es un requisito, si las únicas dos propiedades que definen un espacio vectorial son la suma y el producto por un escalar.

Por otro lado, creo que el primer renglón de tu respuesta va por donde necesito. Podrías expresar la misma información de manera más formal o citar una referencia (libro o web), por favor?

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No sé a qué te refieres con las propiedades "homogeneidad y superposición".

Vector es el nombre que recibe todo elemento que pertenece a un espacio vectorial. Y un espacio vectorial es un conjunto de elementos que satisfacen ciertas propiedades (puedes repasarlas, por ejemplo aquí: http://www.google.es/url?sa=t&rct=j&...ei_repZIn7HtBw)

Hola arivasm, a grandes rasgos, homogeneidad se define como: $f(\lambda x)=\lambda f(x)$.
Y superposición: si $f({x}_{1})={y}_{1}$ y $f({x}_{2})={y}_{2}$ $\Rightarrow$ $f({x}_{1}+{x}_{2})={y}_{1}+{y}_{2}$.

Gracias por e link.

[pod]

Re: Ortogonalidad de Funciones

Oye no entiendo porqué pones el producto escalar es un requisito, si las únicas dos propiedades que definen un espacio vectorial son la suma y el producto por un escalar.

No es requisito para que sea espacio vectorial. Pero la integral que has puesto en tu mensaje inicial es un producto escalar, y si quieres que haya un producto escalar tiene que ser bilineal. En cualquier caso, el título del hilo es "ortogonalidad". Si quieres definir ortogonalidad, necesitas un producto escalar.

Por otro lado, creo que el primer renglón de tu respuesta va por donde necesito. Podrías expresar la misma información de manera más formal o citar una referencia (libro o web), por favor?

No hay mucho más que decir. Un conjunto de funciones pueden tener estructura de espacio vectorial sin que sean lineales ni homogeneas. Se trata de coger la definición y aplicarla. Por ejemplo, la suma de funciones es una función. Si multiplicas una función por un escalar obtienes una función. Etc.

En ningún momento es necesario que la función sea lineal ni homogénea. Es lo mismo que un vector de dimensión finita no es lineal ni homogéneo. Por ejemplo, un vector de $\mathbb R^3$ es a = (1, 2, 5). En este vector $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ y $a_3 = 5$. No hay ninguna constante k tal que $a_i = k i$. "a" como función de "i" no es lineal ni homogénea. Y, aún así, $a_i$ con la suma y producto por escalar que tiene definidos cumple con la definición de producto escalar.

La diferencia es que estamos acostumbrados a escribir $a_i$ y $f(x)$ como dos notaciones diferentes, pero se trata de esencialmente lo mismo, la única diferencia es que el dominio de $i$ es un conjunto discreto y el de $x$ no.

Sobre una cita a web o libro, esto se trata únicamente de la definición de espacio vectorial. Eso lo puedes encontrar en cualquier libro de álgebra...