Posibles valores de una integral

[Weip]

Re: Posibles valores de una integral

No, esto no es correcto. De hecho ninguna de las $f$ es suprayectiva en este problema ( no tiene preimagen: si $f(x_m)=0$, entonces del teorema que probé, se tendría que $f(x) \equiv 1$. Absurdo)

Me refiero a que hay dos formas de que uno tenga antiimagen: que la función sea suprayectiva o que el uno en concreto esté en la imagen. Tu has hecho la segunda. Así que totalmente de acuerdo contigo.

Y ese era apenas el segundo en la lista, si se van más abajo hay más complicados.

Creo que con este ya he ido bien servido jajaja.

[Richard R Richard]

Re: Posibles valores de una integral

yo generalizaria con

$f_y(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{n-1}{n}+ \frac {n}{n-1} x^y & \text{ si } 0 \leq x \leq \frac{n-1}{n} ...\forall y > 1...\forall n > 1\\1 & \text{ si } \frac{n-1}{n} <x \leq 1\end{array}\right.$

no puede ser y < 1 pues la imagen se va por encima de 1

dando la integral

$\dst I = \int_0^1 \ f(x) \ dx= \int_0^{\frac{n-1}{n}} \ f(x) \ dx + \int_\frac{n-1}{n}^1 \ f(x) \ dx$

$\dst I = \int_0^{\frac{n-1}{n}} (\dfrac{n-1}{n}+\dfrac {n}{n-1} x^y) \ dx + \int_\frac{n-1}{n}^1 1 \ dx$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst I = (\dfrac{n-1}{n})^2+\dfrac {n(\dfrac{n-1}{n})^{y+1}} {(n-1)(y+1)} + (1- \dfrac{n-1}{n})$

$\dst I = 1-\dfrac 2 n +\dfrac{1}{n^2}+\dfrac {(\dfrac{n-1}{n})^{y}} {(y+1)} + \dfrac{1}{n}$

$\dst I = 1-\dfrac 1 n +\dfrac{1}{n^2}+\dfrac {(\dfrac{n-1}{n})^{y}} {(y+1)}$


Creo que esta bien y no se si descarrie en algun lado. Pues $\ f(x)$ sigue siendo continua y cumple $f(f(x))=1$

si n=2 e y muy grande entonces la integral va a 3/4, con n=3/2 ya I >3/4 asi que parece tener un minimo alli $[\frac 34,1]$ parece correcta,


y con esta otra que pasa ?

$f_y(x)=\left\{\begin{array}{cl}\dfrac{n-1}{n}+\dfrac{1}{n} e^{(\frac{n}{n-1}-\frac{1}{x})} & \text{ si } 0 \leq x \leq \frac{n-1}{n} ...\forall n > 1\\1 & \text{ si } \frac{n-1}{n} <x \leq 1\end{array}\right.$

habra que buscarle bien la imagen


saludos

[javier m]

Re: Posibles valores de una integral

La función no es continua

[Richard R Richard]

Re: Posibles valores de una integral

empece en lapiz y papel y segui en latex y descarrie la funcion que proponia era esta


$f_y(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{n-1}{n}+ \dfrac 1n(\frac {n}{n-1} x)^y & \text{ si } 0 \leq x \leq \frac{n-1}{n} ...\forall y > 1...\forall n > 1\\1 & \text{ si } \frac{n-1}{n} <x \leq 1\end{array}\right.$

$$\dst I = 1-\dfrac 1 n +\dfrac{1}{n^2}+\dfrac {n-1}{n^2(y+1)}$$

igualmente recien me he dado cuenta que mi funcion y

$$f_y(x)=\left\{<br /> \begin{array}{cl}<br /> \frac12(1 + (2x)^y) & \text{ si } 0 \leq x \leq \frac12 \\<br /> 1 & \text{ si } \frac12 <x \leq 1<br /> \end{array}<br /> \right.$$

no cumplen que $f: [0,1] \to [0,1]$

son del tipo $f: [0,1] \to [\frac12,1]$ o $f: [0,1] \to [\frac{n-1}{n},1]$ y como es un intervalo de la imagen es mas pequeño e incluido en el enunciado puedan ser consideradas igualmente validas como solucion.

El$\lim_{n \to 1} \dfrac{n-1}{n} =0$ por lo que la imagen que propongo esta en en el abierto de (0,1), mucho mas precisa para el enunciado.


$f_(x)=1$ adolece de lo mismo, en un intervalo [1,1]

Si se hace $\frac{\mathrm{dI} }{\mathrm{dn} }=0$ vemos que el minimo de la integral esta en $n=2$ con $y\to\infty$

Aplicado a 1 se obtiene 2 y asi

$I=1-\dfrac12+\dfrac14+\dfrac{1}{4(\infty+1)}=\dfrac34$


$[\frac34,1]$ tal como proponias Javier

Saludos