1r ciclo Diagonalizar matrices

[gaussiano]

hola, a ver si me podeis echar una mano con este ejercicio:
Dada una matriz cuadrada A 3x3: por filas (2 4 1, 1 2 0, 2 3 3) perteneciente a M3 (Z5), es decir, clase resto modulo 5. Es tipo test y tengo que decir cuantos autovalores tiene y si es o no diagonalizable.
Yo hago el determinante de A- lambda I =0 y obtengo la ecuacion caracteristica, teniendo en cuenta que al operar, lo hago en clase resto modulo 5, es decir, en cuanto me sale un numero fuera del conjunto 0,...4, divido entre 5 y cojo resto. Hasta ahi, bien. Pero cuando tengo la ecuacion caracteristica y hago Ruffini, no se hacerla. ¿Hay alguna manera de teniendo la ecuacion saber los autovalores y si es o no diagonalizable? gracias

[Weip]

Re: Diagonalizar matrices

Sobre $\mathbb{Z}_5$ no diagonaliza. Para comprobarlo has de ver que ningún elemento de $\mathbb{Z}_5$ es raíz del polinomio característico. Es decir, sustituye la incógnita por , $1$, $2$, $3$, $4$ y verás que ninguno es raíz. Decir también que Ruffini no te sale porque las tres raíces son rarísimas.

[gaussiano]

Re: Diagonalizar matrices

y como averiguo los autovalores?

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porque las posibles respuestas que tengo son del tipo: tiene 3 autovalores y diagonaliza, 2 autovalores y diagonaliza, 2 autovalores y no diagonaliza, asi....

[Weip]

Re: Diagonalizar matrices

y como averiguo los autovalores?

- - - Actualizado - - -

porque las posibles respuestas que tengo son del tipo: tiene 3 autovalores y diagonaliza, 2 autovalores y diagonaliza, 2 autovalores y no diagonaliza, asi....

Lo he puesto en el mathematica y si no me he equivocado sale que los autovalores son monstruos. No intentes hallarlos si no encontrar cuantos hay. Siguiendo el argumento de mi anterior mensaje no hay autovalores sobre $\mathbb{Z}_5$. De hecho los tres son reales con muchas raíces de por medio. Para que los veas haz click aquí.

¿Qué otras opciones te dan?

[gaussiano]

Re: Diagonalizar matrices

Ejercicio 20. Sea A =2 4 11 2 02 3 3 ∈ M3(Z5). Entonces:a) A tiene dos valores propios y es diagonalizable.b) A tiene tres valores propios y no es diagonalizable.c) A tiene tres valores propios y es diagonalizable.d) A tiene dos valores propios y no es diagonalizable.

- - - Actualizado - - -

y ya por casualidad, mirad este, no obtengo ninguna de las que me dicen:
Ejercicio 14. Dado el sistema de ecuaciones con coeficientes en Z7: 6x + 5y + 3z + 6t = 1 2x + 6y + 4z + 6t = 1 3x + 5y + 2t = 3a) La solución es x = 1 + 6λy = 4 + 2λz = λt = 4b) La solución es x = 1 + 4λy = 2 + 5λz = 3 + 6λt = λc) La solución es x = 0y = 6z = 1t = 4d) No tiene solució

[Weip]

Re: Diagonalizar matrices

Ejercicio 20. Sea A =2 4 11 2 02 3 3 ∈ M3(Z5). Entonces:a) A tiene dos valores propios y es diagonalizable.b) A tiene tres valores propios y no es diagonalizable.c) A tiene tres valores propios y es diagonalizable.d) A tiene dos valores propios y no es diagonalizable.

Si no te dicen nada tendrías que diagonalizar en $\mathbb{Z}_5$ pero viendo las respuestas... ¿Ese es el enunciado completo? ¿Donde hay que diagonalizar? ¿En los reales? Eso sería muy raro porque entonces que te digan que $A \in M_3 \left( \mathbb{Z}_5 \right)$ no tiene sentido.

y ya por casualidad, mirad este, no obtengo ninguna de las que me dicen:
Ejercicio 14. Dado el sistema de ecuaciones con coeficientes en Z7: 6x + 5y + 3z + 6t = 1 2x + 6y + 4z + 6t = 1 3x + 5y + 2t = 3a) La solución es x = 1 + 6λy = 4 + 2λz = λt = 4b) La solución es x = 1 + 4λy = 2 + 5λz = 3 + 6λt = λc) La solución es x = 0y = 6z = 1t = 4d) No tiene solució

Las opciones que te dan son extrañas. ¿Qué es $\lambda$? En la resolución de sistemas $\lambda$ ha de ser una incógnita convertida en parámetro pero en este caso salen las cuatro $x$, $y$, $z$, $t$ y, a parte, $\lambda$. Por otro lado fíjate que ninguna de las soluciones propuestas son correctas porque si sumas las tres ecuaciones que te dan entonces $z$ y $t$ quedan como parámetros libres: te da los factores $7z$ y $14t$ que en $\mathbb{Z}_7$ son $0z$ y $0t$. Y la opción d) no es posible, el sistema tiene solución, se ve a simple vista. Si no me he equivocado se llega a que $2x+y+1=0$ que sobre $\mathbb{Z}_7$ da $x=1$, $y=4$ por ejemplo. En general la solución es $y=5x+6$ con $x$, $z$ y $t$ parámetros.

La verdad es que no sé que más decirte. Las preguntas no tienen mucho sentido que digamos.