Secundaria La integral como suma y regla de Barrow

[Visitante]

He estado viendo el campo magnético creado por una espira, la demostración que usan es usando la ley de laplace (dB) y dicen que el campo magnético será la suma de todos los dB, y para hacer esa suma integra. Mi duda es ¿Por qué una integral es una suma de dB? ¿Será porque para dar B hay que hacer la función inversa (integral= al ser la derivada de B?
Pd: De paso ¿Cuál es la demostración de la regla de Barrow?

[visitante20160513]

Re: La integral como suma y regla de Barrow

El sentido físico de la integración se parece más a la suma de los efectos de un colectivo muy grande de elementos puntuales ó suficientemente pequeños (partículas) que al proceso de integración matemático que se produce siempre en el límite y que suma elementos diferenciales que es una abstracción matemática, cosa que en física no existe, salvo hipótesis relacionadas con los medios continuos, entelequia matemática que no existe en la naturaleza. Se suele tomar como válida la aproximación matemática, puesto que la tenemos ahí, pero sobre este asunto hay mucha discusión entre físicos y matemáticos, desde hace mucho tiempo, y al parecer no acaban de ponerse de acuerdo. Me refiero al uso que hacen unos y otros de los diferenciales de la matemática y de las partículas de la física. La cuestión es que los métodos de la física suelen ser protestados por los matemáticos y vicebersa, sin llegar a concluir si los elementos diferenciales que utilizan unos coinciden con las partículas que utilizan los otros y si los métodos de los otros son válidos según los unos, en fin un follón, pero es un problema estrictamente teórico ya que los resultados a los que conducen unos y otros métodos son idénticos, y al final todos contentos, aunque cada uno "mea en su tiesto", ya me entiendes.

Sobre la demostración de la regla de Barrow o segundo teorema fundamental del cálculo, si buscas en Google seguro que encuentras un montón de artículos, y en los libros también, por ejemplo este enlace:

Regla de Barrow

Salu2, Jabato.

[angel relativamente]

Re: La integral como suma y regla de Barrow

No obstante Malévolex, te recuerdo que asociar integral con operación inversa de la derivada no es la definición de integral, sino que es un teorema (el tma fundamental del cálculo ni más ni menos). La definición de integral es tan simple como el área bajo la curva, y eso es equivalente a sumar el área de los infinitos rectángulos verticales bajo la curva. Si haces la aproximación de que la naturaleza (el campo magnético en este caso) es continua y que el diferencial es una longitud infinitamente pequeña, entonces una expresión del tipo $B=\dst \int \dd B$ es casi una definición, sin usar ni tan siquiera el teorema fundamental. Si en lugar de diferenciales tomásemos intervalos pequeños donde el campo magnético es una constante, llamémoslos $\delta B_i$, entonces tendrías que $B=\dst \sum_{i} \delta B_i$. Es la definición equivalente para el caso finito (en general, para el caso numerable).

Saludos,

[visitante20160513]

Re: La integral como suma y regla de Barrow

Hay que matizar algo aquí, la operación inversa de la derivada es el cálculo de primitivas que es un proceso matemático bien definido como la resolución de integrales indefinidas. El cálculo de integrales definidas es otra cosa. En las primeras se obtiene como resultado una familia de funciones y en las segundas el resultado es un número real, así que conviene matizar bien para no liar la cosa. El problema en física suele ser el segundo, aunque ambos están relacionados precisamente por la regla de Barrow, pero no hay que olvidar que la inversa de una derivada y el cálculo de la integral definida son problemas matemáticos básicamente distintos, el primero utiliza métodos normalmente derivados del álgebra, y el segundo utiliza métodos normalmente derivados del cálculo. Así pues hay que matizar.

Salu2, Jabato.

[Visitante]

Re: La integral como suma y regla de Barrow

Otra duda, creo que esto lo pregunte una vez pero no me acuerdo bien. dB no debería ser respecto a algo o se refiere a una cantidad infinitésima?

Pd: disculpen si es una pregunta un poco tonta

[visitante20160513]

Re: La integral como suma y regla de Barrow

Si $\mathbf P(x,y,z)+\Delta\mathbf P(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$ es un punto genérico de la función entonces $\mathbf P(x,y,z)+d\mathbf P(dx,dy,dz)$ es un punto genérico de su espacio tangente en $\mathbf P(x,y,z)$

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: La integral como suma y regla de Barrow

Otra duda, creo que esto lo pregunte una vez pero no me acuerdo bien. dB no debería ser respecto a algo o se refiere a una cantidad infinitésima?

Pd: disculpen si es una pregunta un poco tonta

Eso ya lo comentamos una vez pero es bueno volver a ello. Los diferenciales como infinitesimales son ideas informales que se usan en física porque permiten hacer razonamientos que, aunque incorrectos, nos llevan al resultado que queremos. Lo que sí es cierto es que los diferenciales y los incrementos son infinitésimos equivalentes:

$\dst\lim_{h \to 0} \dst\frac{\Delta y}{\dd y}=1$

Pero los infinitésimos son un concepto que no guarda ninguna relación con los infinitesimales. Con lo que te has de quedar es que los diferenciales como infinitesimales son "atajos" para argumentar las cosas más rápidamente, pero no hay rigor alguno. Lo mismo para los productos y divisiones entre diferenciales que te encuentres.