Secundaria Algoritmos potenciación - exponenciación y de logaritmos

[alexpglez]

Me preguntaba si existe algún algoritmo para calcular x^y siendo x e y números reales (para complejos creo que sería descomponerlo usando la fórmula de euler con lo que quedaría el mismo caso). He leído en un artículo de wikipedia (donde poco venía) de y aproximarlo como el límite de una serie, o usar una serie de taylor, pero no entendí muy bien cómo se puede aplicar a lo práctico...
Y lo mismo preguntaba para el cálculo de logaritmos, he oído que esto se hace mediante una tabla de logaritmos (y por las propiedades de logaritmos), me preguntaba cómo se obtiene, (¿aproximando por tanteo?).

Gracias, un saludo.

[visitante20160513]

Re: Algoritmos potenciación - exponenciación y de logaritmos

Puedes utilizar los desarrollos en serie de potencias del logaritmo y de la función exponencial porque podemos hacer lo siguiente:

$A=x^y=e^{Ln (x^y)}=e^{yLn x}$

y de aquí calculas primero el logaritmo de $x$, usando la serie de potencias del logaritmo, multiplicas el resultado por $y$, y por último calculas la exponencial de ese número usando la serie de potencias de la función exponencial. Puedes obtener tanta aproximación como quieras sin más que aplicar las series con tanta aproximación como desees (con dos o tres términos debería bastar para obtener una buena aproximación). Es un algoritmo, como el de la división o el de la raíz cuadrada, y no mucho más complicado si no deseas demasiada precisión.

Salu2, Jabato.

[pod]

Re: Algoritmos potenciación - exponenciación y de logaritmos

No sé si el temario de secundaria actualmente incluye series de Taylor. En cualquier caso, explicarlas es relativamente sencillo. Se trata de suponer la idea de que una función cualquiera sea igual a un polinomio. Si esto fuera verdad, el calculo sera mucho más sencillo porque tratar con polinomios es muy sencillo. Lo malo es que el polinomio, en general, tiene que ser de grado infinito. Tendríamos esta igualdad:

$$f(x) = \sum_n a_n x^n .$$

Para ver cuánto valen las $a_n$, nos basamos en la idea de que en $x=0$ la función tiene que ser igual al polinomio; la primera derivada tiene que ser igual a la primera derivada del polonomio, etc. Esto nos permite crear una serie de igualdades como sigue:

$$\begin{aligned}<br /> f(0) & = a_0 \ , \\<br /> f'(0) & = a_1 \ , \\<br /> f''(0) & = 2 a_2 \ , \\<br /> f^{(3)}(0) & = 3\cdot 2 a_3 \ , \\<br /> f^{(4)}(0) & = 4\cdot3\cdot 2 a_4 \ , \\<br /> \vdots \\<br /> f^{(n)}(0) & = n! a_n \ .<br /> \end{aligned}$$

Con lo cual,

$$f(x) = \sum_n \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} \ x^n .$$

Aquí lo he hecho usando el x=0 (esto es lo que llamamos la serie de Taylor al rededor del 0). Pero podría hacerlo al rededor de cualquier otro número con la misma facilidad:

$$f(x) = \sum_n \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \ (x-x_0)^n .$$

Para que esto sea práctico, obviamente no podemos sumar infinitos términos. Eso es materialmente imposible. Así que lo que hacemos es truncar la serie a una cantidad finita de términos. Existen teoremas matemáticos que nos permiten calcular cual es el máximo error que cometemos al quedarnos con los N primeros términos. Luego, si la función se comporta lo suficientemente bien, dicho error es decreciente en N, y por lo tanto cada vez nos aproximamos más al sumar más y más términos. Al final, lo que no podemos hacer es obtener el resultado con infinita precisión; pero podemos conseguir el valor con la precisión que queramos. Por ejemplo, si estamos haciendo una calculadora con una mantisa de 8 cifras, pues con truncar la serie de Taylor y dejarla en suficientes términos para que el error esté por debajo de la 9ena cifra significativa tendremos suficiente.

Las funciones más usuales tienen todas series de Taylor conocidas. La más sencilla es la de la exponencial, ya que si $f(x) = \eee{x}$, entonces $f^{(n)}(0) = 1$.

Todo esto lo estudiarás con mucho más detalle probablemente en las matemáticas de primero de cualquier carrera científica o técnica. En definitiva, todo se reduce a el teorema de Taylor que nos dice cual es el error máximo que se comete al truncar la serie.

[alexpglez]

Re: Algoritmos potenciación - exponenciación y de logaritmos

Y antes de Taylor, qué algoritmos había?
No se dan las series de Taylor en secundaria, aunque yo ya las conocía, fue un despiste mío de no entender muy bien lo que trataba de decir wikipedia. Es un método eficaz (y supongo que el que más). Pero buscaba más un algoritmo basado en la teoría intrínseca de las exponenciales y los logaritmos, no en aproximaciones por series de taylor u otras series parecidas, no sé si lo hay (¿?).

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Y antes de Taylor, qué algoritmos había?
No se dan las series de Taylor en secundaria, aunque yo ya las conocía, fue un despiste mío de no entender muy bien lo que trataba de decir wikipedia. Es un método eficaz (y supongo que el que más). Pero buscaba más un algoritmo basado en la teoría intrínseca de las exponenciales y los logaritmos, no en aproximaciones por series de taylor u otras series parecidas, no sé si lo hay (¿?).

[Al2000]

Re: Algoritmos potenciación - exponenciación y de logaritmos

En un viejo (año 81) libro de subrutinas para BASIC se describe el algoritmo CORDIC para el calculo de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Si haces una búsqueda de CORDIC en internet, te saldrán muchos enlaces que explican el algoritmo. Supongo que luego de tantos años se habrán implementado otros algoritmos que desconozco, todo sería cuestión de investigar un poco.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Re: Algoritmos potenciación - exponenciación y de logaritmos

Y antes de Taylor, qué algoritmos había?

Antes de que hubiese calculadoras se utilizaban las Tablas de Logaritmos y el método es el que te ha explicado Jabato:

$A=x^y$

Por ejemplo $A=1.7^{2.3}$

$\log A=y\log x$

$\log A=2.3\log 1.7$

Se buscaba en las tablas, (que solían dar 6 cifras), el valor:

$\log 1.7=0.230459$

(He usado una tabla de base 10 que era la tabla más habitual en el siglo XX, cuando yo hice el bachillerato)

Se multiplicaba por 2,3

$\log A=2,3 \times 0,230459$

$\log A=0.530033$

Y ahora se buscaba en las tablas a qué número A le correspondía un logaritmo de valor 0.530033 (a esto se le llamaba buscar el antilogaritmo) y se obtenía:

$A=3.388699$

Que es el resultado buscado.
Y la pregunta es ¿Cómo hacían las tablas de logaritmos? Pues las primeras que se confeccionaron, (hacia el año 1.600 y por lo tanto mucho antes de que se enunciase el Teorema de Taylor en 1.712), con mucha astucia y mucha paciencia, aquí puedes encontrar algunos detalles:

http://www.juntadeandalucia.es/averr...oe/numeroe.htm

http://www.mat.uson.mx/depto/publica...logaritmos.pdf

Saludos