Divulgación La demostracion más bella de las matematicas

[Alriga]

Leí hace un tiempo que se sometió a votación cuál era la Ecuación más bella de las Matemáticas, venciendo la Identidad de Euler:

$e^{i\pi}+1=0$ que relaciona a 5 números importantísimos en las Matemáticas y en su aplicación a la Física:

e=2.718281828... la base de la única función cuya derivada es ella misma

$i=\sqrt{-1}$ la base de los números imaginarios que permite la formación del Cuerpo de los Complejos

$\pi=3.14159265...$ La relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro

0 el elemento neutro de la operación suma que permite crear la estructura de Grupo

1 el elemento neutro de la operación multiplicación que permite, con la suma, crear la estructura de Cuerpo


Planteo ahora un tema similar pero diferente, no hablemos de ecuaciones sino de demostraciones: ¿cuál es para vosotros la Demostración más bella de la Historia de las Matemáticas?

Yo, después de pensar bastante, me quedé con 4 finalistas, y si finalmente debo elegir tan solo una, me quedo con ésta:

La demostración de Euclides de la infinitud de los números primos

Es una demostración por reducción al absurdo realizada hace 2.300 años:
Supongamos que los números primos son finitos y forman el conjunto P

$P=\{a_1, a_2, a_3, a_4,... ..., a_n\}$

Construyamos el número a como el producto de todos los primos más 1

$a=(a_1\times a_2\times a_3\times a_4\times... ...\times a_n)+1$

Claramente el número a así construido no puede estar en el conjunto P, pues es mayor que cualquiera de sus miembros.
En el conjunto P están todos lo número primos, pero el número a no es divisible por ninguno de ellos, pues al dividir a por cualquiera dará de resto 1
Luego, o el número a es un primo que no está en P o es divisible por algún primo que no está en P, lo que entra en contradicción con la suposición inicial de que puede haber un conjunto P finito formado por todos los números primos. Luego los números primos son infinitos c.q.d.

¿Os parece también a vosotros la demostración más bella de la Historia de las Matemáticas?
Si os parece que hay otra más bella, exponedla aquí y defendedla.

Saludos.

[Visitante]

Re: La demostracion más bella de las matematicas

Leí hace un tiempo que se sometió a votación cuál era la Ecuación más bella de las Matemáticas, venciendo la Fórmula de Euler:

$e^{i\pi}+1=0$ que relaciona a 5 números importantísimos en las Matemáticas y en su aplicación a la Física:

e=2.718281828... la base de la única función cuya derivada es ella misma

$i=\sqrt{-1}$ la base de los números imaginarios que permite la formación del Cuerpo de los Complejos

$\pi=3.14159265...$ La relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro

0 el elemento neutro de la operación suma que permite crear la estructura de Grupo

1 el elemento neutro de la operación multiplicación que permite, con la suma, crear la estructura de Cuerpo

Mi pregunta: ¿y cuál es para vosotros la Demostración más bella de la Historia de las Matemáticas?

Yo, después de pensar bastante, me quedé con 4 finalistas, y si finalmente debo elegir tan solo una, me quedo con ésta:

La demostración de Euclides de la infinitud de los números primos

Es una demostración por reducción al absurdo realizada hace 2.300 años:
Supongamos que los números primos son finitos y forman el conjunto P

$P=\{a_1, a_2, a_3, a_4,... ..., a_n\}$

Construyamos el número a como el producto de todos los primos más 1

$a=(a_1\times a_2\times a_3\times a_4\times... ...\times a_n)+1$

Claramente el número a así construido no puede estar en el conjunto P, pues es mayor que cualquiera de sus miembros.
En el conjunto P están todos lo número primos, pero el número a no es divisible por ninguno de ellos, pues al dividir a por cualquiera dará de resto 1
Luego, o el número a es un primo que no está en P o es divisible por algún primo que no está en P, lo que entra en contradicción con la suposición inicial de que puede haber un conjunto P finito formado por todos los números primos. Luego los números primos son infinitos c.q.d.

¿Os parece también a vosotros la demostración más bella de la Historia de las Matemáticas?
Si os parece que hay otra más bella, exponedla aquí y defendedla.

Saludos.

En realidad esa es la identidad de euler, de todos modos, yo creo que la demostracion mas elegante es la demostracion de ue la raiz de dos es irracional por absurdo. La identidad de euler es la mas bella, hasta feynman lo dijo, pero no su demostracion.

[Alriga]

Re: La demostracion más bella de las matematicas

Gracias Malevolex, me he debido explicar fatal, una cosa son Ecuaciones, según parece eso ya se votó y ganó la identidad de Euler y otra cosa es lo que yo planteo aquí que son Demostraciones. Edito a ver si lo arreglo, gracias.

[Weip]

Re: La demostracion más bella de las matematicas

Personalmente a mi no me gustan esas dos demostraciones porque son demasiado simples. Las técnicas usadas en las dos se usan muchísimo. Aunque eso no quita que los resultados sean impresionantes. Si hablamos de enunciados bellos a mí me ha gustado uno que he dado este curso en topología que dice que todo espacio topológico no compacto admite una compactificación de Alexandroff. Pero la demostración es rutinaria.

En cuanto a demostraciones a mí me gustan la de estos dos enunciados:

-Todo espacio vectorial tiene una base.
-La paradoja de Banach-Tarski.

La primera me gusta porque fue la primera "aplicación" del axioma de elección/lema de Zorn que vi y además apareció donde nunca me lo esperaría. Para la segunda me gusta la demostración de Terence Tao porque usa teoría de grupos elemental (la original también usa el axioma de elección pero es muy larga). También encuentro impresionante la demostración de que no existe fórmula general en radicales para ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior pero esa no la cuento. El motivo es que entiendo el 99% de la demostración pero el principio no. Intuitivamente lo veo pero aún no he entendido formalmente porqué cada ecuación tiene un grupo de Galois asociado y porqué si es resoluble entonces la ecuación es resoluble por radicales. Bueno el año que viene la daré en la universidad. Pero la quería nombrar porque me parece uno de los grandes éxitos del álgebra.

Personalmente me gustan las demostraciones cortas pero difíciles y con ideas brillantes detrás.

Edito: Ah y antes de que se me olvide, un enunciado que me encanta es la hipótesis del contínuo. La demostración de que es independiente de ZFC no la he visto, aún no tengo suficiente nivel, aunque tampoco la he encontrado por internet.

[Alriga]

Re: La demostracion más bella de las matematicas

Muchas gracias por comentar y opinar Weip, (impresionante que tan joven ya domines matemáticas de tanto nivel)
Ánimo con tu Carrera de Matemáticas, a ver si dentro de unos pocos años eres tú quien demuestra algo gordo, por ejemplo la Conjetura de Riemann y eres el primer español en ganar la Medalla Fields.
Saludos.

[skynet]

Re: La demostracion más bella de las matematicas

alriga,

a mí sí me gusta la demostración de Euclides.

saludos

[Visitante]

Re: La demostracion más bella de las matematicas

Personalmente a mi no me gustan esas dos demostraciones porque son demasiado simples. Las técnicas usadas en las dos se usan muchísimo. Aunque eso no quita que los resultados sean impresionantes. Si hablamos de enunciados bellos a mí me ha gustado uno que he dado este curso en topología que dice que todo espacio topológico no compacto admite una compactificación de Alexandroff. Pero la demostración es rutinaria.

En cuanto a demostraciones a mí me gustan la de estos dos enunciados:

-Todo espacio vectorial tiene una base.
-La paradoja de Banach-Tarski.

La primera me gusta porque fue la primera "aplicación" del axioma de elección/lema de Zorn que vi y además apareció donde nunca me lo esperaría. Para la segunda me gusta la demostración de Terence Tao porque usa teoría de grupos elemental (la original también usa el axioma de elección pero es muy larga). También encuentro impresionante la demostración de que no existe fórmula general en radicales para ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior pero esa no la cuento. El motivo es que entiendo el 99% de la demostración pero el principio no. Intuitivamente lo veo pero aún no he entendido formalmente porqué cada ecuación tiene un grupo de Galois asociado y porqué si es resoluble entonces la ecuación es resoluble por radicales. Bueno el año que viene la daré en la universidad. Pero la quería nombrar porque me parece uno de los grandes éxitos del álgebra.

Personalmente me gustan las demostraciones cortas pero difíciles y con ideas brillantes detrás.

Edito: Ah y antes de que se me olvide, un enunciado que me encanta es la hipótesis del contínuo. La demostración de que es independiente de ZFC no la he visto, aún no tengo suficiente nivel, aunque tampoco la he encontrado por internet.

Hola weip, se que , as demostraciones son simples pero es eso lo que las hacen bellas, cuanto mas simple es una d2mostracion mas elegante es.ademas, la demostracion de que raiz de 2 sea irracional es bastante elegante y cuando los pitagoricos la descubrieron casi les da algo, por eso me gusta bastante.
Respecto a las demostraciones que mencionas apenas he oido hablar de alguna, mi nivel todavia es bajo, sin embargo, la paradoja de banach-tarsi es que puedes cortar la esfera de alguna manera que puedes tener otras dos esferas iguales a la original?

[Alriga]

Re: La demostracion más bella de las matematicas

... sin embargo, la paradoja de Banach-Tarski es que puedes cortar la esfera de alguna manera que puedes tener otras dos esferas iguales a la original?...

Sí Malevolex. Es una demostración muy técnica basada en dividir la esfera en subconjuntos no-medibles y a continuación volver a unir esos subconjuntos.
Una explicación de divulgación la puedes encontrar aquí: http://tiopetrus.blogia.com/2003/091...ski-banach.php
Saludos.

[Weip]

Re: La demostracion más bella de las matematicas

Hola weip, se que , as demostraciones son simples pero es eso lo que las hacen bellas, cuanto mas simple es una d2mostracion mas elegante es.ademas, la demostracion de que raiz de 2 sea irracional es bastante elegante y cuando los pitagoricos la descubrieron casi les da algo, por eso me gusta bastante.

Ya pero por ejemplo la demostración de que raíz de dos es irracional se hace por un simple reducción al absurdo. Dificultad cero. Miles de proposiciones y teoremas se demuestran así. A esto me vengo a referir, las demostraciones bellas en mi opinión han de ser simples, pero han de tener dificultad. Es que si no yo no obtengo sensación de satisfacción al entenderla. Pero bueno solo es mi opinión, estoy seguro que muchos matemáticos y otros profesionales de la ciencia te dirán que sí es bella.

Respecto a las demostraciones que mencionas apenas he oido hablar de alguna, mi nivel todavia es bajo, sin embargo, la paradoja de banach-tarsi es que puedes cortar la esfera de alguna manera que puedes tener otras dos esferas iguales a la original?

Sí, es esa. Tal como indica Alriga la demostración original se basa en decir que algunos de los trocitos de la esfera que cortas no tienen volumen definido (no son medibles Lebesgue que se dice) así que puedes recombinar las piezas de forma que queden dos esferas del mismo tamaño que la anterior. Esta demostración original aunque destaca el papel del axioma de elección, es muy complicada. Por eso prefiero una muy simple y bonita que hizo del famoso Terence Tao.

Muchas gracias por comentar y opinar Weip, (impresionante que tan joven ya domines matemáticas de tanto nivel)
Ánimo con tu Carrera de Matemáticas, a ver si dentro de unos pocos años eres tú quien demuestra algo gordo, por ejemplo la Conjetura de Riemann y eres el primer español en ganar la Medalla Fields.
Saludos.

Bueno no es para tanto, cualquier estudiante de matemáticas de segundo tiene que haber visto alguna cosa de las que he dicho o al menos que le suenen (cultura matemática). Yo me conformo con algun día descubrir algo, aunque sea pequeñito. Con eso ya seré feliz.

[Alriga]

Re: La demostracion más bella de las matematicas

Ah y antes de que se me olvide, un enunciado que me encanta es la hipótesis del contínuo. La demostración de que es independiente de ZFC no la he visto, aún no tengo suficiente nivel, aunque tampoco la he encontrado por internet.

La demostración de que la Hipótesis del Continuo es independiente de la axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel tiene dos partes.
- La primera parte demuestra que si se acepta la hipótesis no hay contradicción con el resto de los axiomas de ZF. Fue realizada por Kurt Gödel en 1940.
- Y la segunda parte demuestra que si se rechaza la hipótesis tampoco hay contradicción con el resto de los axiomas de ZF. Esta última fue realizada por Paul Cohen en 1963.
Tal vez si las buscas las dos demostraciones en Internet por separado haya más posibilidades de encontrarlas, saludos.

[Weip]

Re: La demostracion más bella de las matematicas

Gracias Alriga. Los artículos originales los tengo pero me gustaría ver alguna demostración más moderna o al menos mejor presentada. Leer las investigaciones originales siempre es difícil. No sé igual un día de estos en un alarde de motivación me los leo.

[Alriga]

Re: La demostracion más bella de las matematicas

Gracias Alriga. Los artículos originales los tengo pero me gustaría ver alguna demostración más moderna o al menos mejor presentada. Leer las investigaciones originales siempre es difícil. No sé igual un día de estos en un alarde de motivación me los leo.

Supongo que probablemente ya conocerás que ha habido nuevos puntos de vista sobre la Hipótesis del Continuo en la última década, en especial los trabajos de W.H. Woodin con su Axioma (*) y su Conjetura Omega, enlazo un artículo divulgativo:
http://www.universalia.usb.ve/node/485
Saludos.

[Weip]

Re: La demostracion más bella de las matematicas

Supongo que probablemente ya conocerás que ha habido nuevos puntos de vista sobre la Hipótesis del Continuo en la última década, en especial los trabajos de W.H. Woodin con su Axioma (*) y su Conjetura Omega, enlazo un artículo divulgativo:
http://www.universalia.usb.ve/node/485
Saludos.

Tampoco quiero desviar el tema del hilo pero la propuesta de Woodin sirve para probar que la hipótesis del contínuo es falsa ¿no? Tampoco me lo miré mucho pero entiendo que Woodin no trabaja en ZFC.

[Alriga]

Re: La demostracion más bella de las matematicas

Tampoco quiero desviar el tema del hilo pero la propuesta de Woodin sirve para probar que la hipótesis del contínuo es falsa ¿no? Tampoco me lo miré mucho pero entiendo que Woodin no trabaja en ZFC.

Según la Wikipedia, entiendo que verdadera: "He has done work on the theory of generic multiverses and related concept of Ω-logic which suggested an argument that the Continuum Hypothesis is either undecidable or false in the sense of Mathematical Platonism. Woodin criticizes this view arguing that it leads to a counterintuitive reduction in which all truths in the set theoretical universe can be decided from a small part of it. He claims that these and related mathematical results lead (intuitively) to the conclusion that Continuum Hypothesis has a truth value and the Platonistic approach is reasonable.Woodin now predicts that there should be a way of constructing an inner model for almost all known large cardinals which he calls the Ultimate L and which would have similar properties as Gödel's constructible universe. In particular, the Continuum Hypothesis would be true in this universe"

Estos son los trabajos de Woodin sobre la Hipótesis del Continuo, pero están totalmente fuera de mi nivel:

http://www.ams.org/notices/200106/fea-woodin.pdf

http://www.ams.org/notices/200107/fea-woodin.pdf

Saludos.

[Weip]

Re: La demostracion más bella de las matematicas

Anda pues yo leí la wikipedia una vez y decía que era falsa (aún lo sigue poniendo). Bueno es igual sinceramente esto aún me queda lejos y me interesa más la hipótesis del contínuo en ZFC. Algún día me lo miraré.

Por cierto ¿cuales son el resto de finalistas de los que hablas en el primer mensaje?