Secundaria Aproximación no tan elemental

[Visitante]

Resulta que estaba haciendo un problema y en un paso hicieron algo que no me parece tan elemental.
Si r<R entonces el cociente r/R es menor que la unidad.
Hasta ahí bien, pero luego hace:
$\dst\frac{1}{{(1+\frac{r}{ R})}^{ 3} }={(1+\frac{r}{ R})}^{ -3} \approx 1-3 \dst\frac{r}{ R}$
Lo dicho, no sé cómo sacan tal aproximación ¿Existe alguna demostración?

[Turing]

Re: Aproximación no tan elemental

Buenas,

es simplemente un desarrollo en série de Taylor, quedándote con el primer término.

Un saludo.

[angel relativamente]

Re: Aproximación no tan elemental

Se ha adelantado Turing a mi respuesta, así que solo complementaré un poco lo dicho. Tu variable es $r/R$, pero si quieres llámalo $x=r/R$ y piensa que tienes que desarrollar la función $f(x)=(1-x)^{-3}$ en serie de Taylor en torno al cero. ¿Por qué en torno al cero? Porque la aproximación tiene sentido solo si $R>> r$ y por tanto $x \approx 0$. Por otro lado te quedas solo en el primer término de la serie (la primera derivada) porque luego te aparecerán elementos del tipo $x^n$, $n\geq 2$ y eso puedes tomarlo como cero para la aproximación porque $x$ ya es casi nulo.

Saludos,

[visitante20160513]

Re: Aproximación no tan elemental

Puedes visualizarlo de forma geométrica porque esa aproximación consiste simplemente en substituir, en el entorno de $x=0$, la curva por su recta tangente. Evidentemente la aproximación será tanto mejor cuanto mas cerca estemos de dicho punto y tanto peor cuanto más nos alejemos de él.

Realmente para poder validar el cambio realizado debería ser más bien $r<<R$ en lugar de $r<R$ aunque la aproximación se validará por sí sola en función del uso que se haga del resultado obtenido.

Salu2, Jabato.

[Visitante]

Re: Aproximación no tan elemental

Una cosa $r<<<R$, las tres $<$ quieren indicar cuán pequeño es?, es decir, ¿hay tanta diferencia entre $y<<<x$, $y<<x$ y $y<x$?

[Weip]

Re: Aproximación no tan elemental

Una cosa $r<<<R$, las tres $<$ quieren indicar cuán pequeño es?, es decir, ¿hay tanta diferencia entre $y<<<x$, $y<<x$ y $y<x$?

Solo hay diferencia entre poner una desigualdad estricta y varias. Poner dos, tres o más solo significa que una cantidad es mucho más grande/pequeña que otra. Cuando solo hay una significa que un objeto es más grande/pequeño que otro pero no da información sobre si es mucho más grande/pequeño o mucho menos.

[visitante20160513]

Re: Aproximación no tan elemental

Y por lo tanto que nos estamos moviendo en el entorno de $x=r/R=0$ lo que resulta en validar la aproximación realizada. Si el enunciado establece esa condición te están diciendo implícitamente que puedes realizar la aproximación realizada, es decir substituir el arco de curva en dicho entorno por un segmento de su recta tangente. Es una técnica que se utilizaba habitualmente en cálculo infinitesimal cuando los valores de la variable independiente se pueden considerar muy próximos a un punto determinado. Actualmente el cálculo infinitesimal ha dejado de estudiarse en las aulas aunque no por ello puede afirmarse que sus conclusiones no fueran correctas. Hoy en día se estudia desde el punto del cálculo diferencial e integral, dejando de lado el cálculo infinitesimal, probablemente porque el concepto clásico de infinitésimo es algo que anda siendo muy volátil desde el descubrimiento de los números hiperreales. Pero eso es otra historia.

Salu2, Jabato.