Secundaria Consulta respecto a UTF

[Inocencio]

Hola. He dudado al poner el post en esta sección. De estar mal ubicado ruego me avisen. Me gustaría demostrar el UTF en la forma más sencilla posible, es decir usando aritmética. Me servirían consejos, ideas, sugerencias. Desde ya muchas gracias.

[Weip]

Re: Consulta respecto a UTF

Hola. No se conocen demostraciones elementales del UTF. Todas son largas y se necesita saber mucha teoría de números. Eso sí, te puedes conformar con el caso concreto $n=4$ que es sencillo de demostrar. Si lo quieres demostrar tu mismo te dejo dos pistas. La primera es que la clave está en las ternas pitagóricas. La segunda es el método de demostración: usa el descenso al infinito. Si tienes algún problema con los detalles dílo y te ayudamos.

[Inocencio]

Re: Consulta respecto a UTF

Hola Weip. Hasta ahora sin ayuda he obtenido la solución general del caso n=2 en forma polinómica. Y obviamente también para n=4 . Me gustaría intentar para todo n>2. Ignoro esto: ¿Ha sido presentada alguna demostración de imposibilidad respecto a demostraciones sencillas, digamos tan firme como el Teorema de Von Neumann al garantizar que toda estructura formal tiene proposiciones indecidibles?

[Weip]

Re: Consulta respecto a UTF

Hola Weip. Hasta ahora sin ayuda he obtenido la solución general del caso n=2 en forma polinómica. Y obviamente también para n=4 . Me gustaría intentar para todo n>2. Ignoro esto: ¿Ha sido presentada alguna demostración de imposibilidad respecto a demostraciones sencillas, digamos tan firme como el Teorema de Von Neumann al garantizar que toda estructura formal tiene proposiciones indecidibles?

Creo que no existe ninguna demostración de que el UTF no se pueda demostrar con teoría de números elemental. Por lo tanto puede existir una demostración sencilla pero es improbable. No soy experto pero he leído opiniones de matemáticos del área que dicen que aún ha de pasar mucho tiempo para que se descubra algún camino sencillo. En tu nivel consta que eres aficionado a la divulgación así que no sé si lo siguiente será viable, pero creo que para hacer un intento serio deberías conocer la demostración de Andrew Wiles. Atacar el problema sin saber todo lo que hay actualmente encima de la mesa no creo que sea un buen camino. En todo caso yo no puedo ayudar más, solo conozco algunos casos para $n$ concretos. Buena suerte.

[Inocencio]

Re: Consulta respecto a UTF

Gracias Weip. No he leido la demostración de Wiles pues excede mis posibilidades. Solamente me sorprende que un problema aritmético no pueda tener solución aritmética. Y si aparezco alguna vez por acá con algo en la mano, me agradará leerte nuevamente. Muchas gracias por tu aporte.

[Weip]

Re: Consulta respecto a UTF

Solamente me sorprende que un problema aritmético no pueda tener solución aritmética.

La existencia y unicidad de ecuaciones normalmente salen por argumento teóricos. Algunas veces también puedes sacar la solución sin hacer apenas cálculos. La verdad es que a mí me gusta mucho más deducir las cosas que no calcularlas. El problema es que suele ser complicado, como es el caso del UTF. De todas formas no está de más que lo intentes. A veces enfrentarte a problemas que exceden tus posibilidades te obliga a pensar mucho y aunque fracases, siempre te llevas algo nuevo.

[visitante20160513]

Re: Consulta respecto a UTF

Pues una posible demostración podría consistir en demostrar que la sucesión:

$\displaystyle{\forall a\in Q (0,1)\qquad a_n=(1-a^n)^{1/n}}$

tiene todos sus términos irracionales a partir del tercero. Si consigues demostrar esto tendrías el UTF demostrado. Pero ya te han avisado que no se conocen demostraciones sencillas.

Salu2, Jabato.

[Inocencio]

Re: Consulta respecto a UTF

Gracias Weip y Jabato por dar ánimo. No creo poder demostrar la irracionalidad de la serie para la condición dada, me late que también excede mis posibilidades. Si el intento por otro método me sirve como buen entrenamiento, salga lo que sea no lo sentiré como fracaso. Me gustaría tener abierta la puerta para volver al foro con el intento, aunque no llegue a la demostración. No digo venir a poner que 2+2 son 4, sino en caso de adoptar una estrategia para abordar el problema poder exponerla para recibir ideas, opiniones, sugerencias.

[Inocencio]

Re: Consulta respecto a UTF

He pasado por aquí para ver si había algo más y aprovecho para dejar un saludo y agradecimiento.