2o ciclo Lógica con la que razona el cerebro humano

[Everett IV]

¿Qué lógica pensáis que utiliza el cerebro humano? La de primer orden pero aumentada, porque nosotros sabemos que hay un modelo estándar en la aritmetica de Peano, las teorías en lenguajes de lógica de primer orden no lo saben

[guibix]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

Entiendo como “lógica de primer orden” la que usan las neuronas o las de las redes neuronales más simples.

Yo de ti buscaría información sobre “Redes Neuronales Artificiales” o “Artificial Neural Network”, que son modelos matemáticos y computacionales simplificados para aplicaciones prácticas. Aquí te dejo un PDF bastante completo.

Básicamente, una neurona es un separador lineal. Las señales de entrada son tratadas como un vector en un espacio de n dimensiones (donde n es el número de entradas) y la estructura de las conexiones a estas entradas refuerzan o inhiben las señales de entrada. Son pesos que ponderan la señal. Estos pesos se pueden tratar como otro vector del mismo espacio vectorial que delimita un hiperplano de n-1 dimensiones perpendicular al vector y que divide el espacio en dos partes. Mediante un producto escalar entre ambos vectores se puede determinar a que lado del hiperplano está el vector de entrada. Además se le añade una constante que desplaza el hiperplano del origen de coordenadas. La neurona activa una señal de salida si el vector de entrada está a un lado del hiperplano o no se activa si está en el otro.

Cuando un problema no es linealmente separable se necesitan más neuronas. Mediante el uso de otras neuronas que tengan como estrada la salida de otras, se consigue redes que pueden aislar zonas del espacio de entrada con casi cualquier topología para lograr separar las señales que nos convengan del resto. La neurona se activará si el vector de entrada está en dichas regiones o no lo hará si la el vector entrada está a fuera.

Luego está la parte más importante que es el proceso de aprendizaje. Se trata de modificar las conexiones (pesos) poco a poco, para que el hiperplano se ajuste a separar el espacio de la manera más conveniente y dé la respuesta esperada. Para ello hace falta un mecanismo que permita a la neurona saber si está dando la respuesta esperada o no y como tiene que modificar sus conexiones para ajustarse a la respuesta esperada.

Es bastante complicado de explicar en un hilo y las neuronas no solo pueden hacer esto. Pero a tu pregunta, yo respondería: la lógica más básica del cerebro humano es la separación lineal de los estímulos que recibe.

Saludos.

[Weip]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

Entiendo como “lógica de primer orden” la que usan las neuronas o las de las redes neuronales más simples.

Mmm no sé yo, dado que en la pregunta se habla de un modelo y de una teoría aritmética imagino que se refiere a esta lógica. Contesto por si acaso es esto último, yo creo que nuestro cerebro no funciona con ella porque muchas veces hacemos elecciones aleatorias, consideramos cualquier tipo de razonamiento como válido...

[guibix]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

Contesto por si acaso es esto último, yo creo que nuestro cerebro no funciona con ella porque muchas veces hacemos elecciones aleatorias, consideramos cualquier tipo de razonamiento como válido...

Por eso entiendo que, en este contexto, la "lógica de primer orden" es la más básica de nuestro cerebro. En dicho caso es la separación lineal de señales y el reajuste (aprendizaje) de la forma de separarlas. Claro que esto no sé si llega a poder considerarse una lógica.

[Everett IV]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

Pero nuestro lenguaje natural usa razonamientos válidos que no se pueden expresar en lenguajes de primer orden, como el saber que de todos los modelos de los axiomas de Peano (si no has leído un poco sobre teoría de modelos, busca en Internet, pero un módelo es cuándo damos un significado a las palabras y a los simbolos matemáticos, de forma que cualquier fórmula o frase no paradojica, tiene un valor de verdad). Ya cité arriba que en lenguajes de primer orden no se puede decir la expresión "esto se cumple para los números naturales estándar, y para los otros no". Las lógicas de mayor orden tienen el problema de la incompletitud, hay sentencias que uses los razonamientos que uses nunca vas a poder decir que son verdaderas o falsas porque suponer lo uno o lo otro no te va a llevar a contradicción.

[Jaime Rudas]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

¿Qué lógica pensáis que utiliza el cerebro humano?

Opino que el cerebro no viene, 'de fábrica', con un sistema lógico preestablecido; o sea, aunque es un hardware adecuado para operar diferentes sistemas lógicos, no viene con ninguno preinstalado.

[Everett IV]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

Yo pienso que la lógica del cerebro es la lógica de primer orden con un axioma no de primer orden añadido que dice que existe un modelo estándar para los axiomas de Peano en primer orden. Es sólo una hipótesis. Creo que los neurólogos podrían ayudar. Si hay alguno por aquí, le agradecería que me pusiera al tanto de los estudios del cerebro

[carroza]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

El cerebro humano (al menos el de Kurt Godel) es capaz de demostrar el teorema de Godel. Entiendo que ningun sistema axiomático (sea del orden que fuere) puede demostrar esto.

Saludos

[Everett IV]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

Entonces, Carroza, ¿tú piensas que el cerebro humano no funciona como un ordenador?

[Weip]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

hay sentencias que uses los razonamientos que uses nunca vas a poder decir que son verdaderas o falsas porque suponer lo uno o lo otro no te va a llevar a contradicción.

Cualquier sentencia indecidible bajo el análisis de mi cerebro puede no serlo. Yo por ejemplo puedo dar un argumento inválido desde el punto de vista lógico pero si mi cerebro se autoconvence de que está bien, pues estará bien. Así pues mi cerebro puede validar y refutar lo que quiera usando los criterios que quiera. Y será correcto, porque así funciona mi cerebro independientemente (o no, eso lo decide mi cerebro) de lo que opinen otros cerebros. Por eso pienso que el cerebro no funciona con esta lógica.

Yo pienso que la lógica del cerebro es la lógica de primer orden con un axioma no de primer orden añadido que dice que existe un modelo estándar para los axiomas de Peano en primer orden.

La lógica de primer orden no tiene axiomas, son los sistemas deductivos formales (como mínimo) los que los tienen. En todo caso le puedes añadir un axioma a la aritmética de Peano que diga eso, pero en la teoría de primer orden ya se da: el modelo estándar del lenguaje de la aritmética es el modelo estándar de la aritmética de Peano. Aunque sí es cierto que para ser un axioma o un teorema en una teoría axiomática de primer orden lo has de formular de otra forma: $\mathbb{N}\models \text{AP}$.

[carroza]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

Entonces, Carroza, ¿tú piensas que el cerebro humano no funciona como un ordenador?

El cerebro no funciona como un sistema axiomático. El cerebro es un organo que ha evolucionado para ayudarnos a cazar gacelas y que no nos cacen los leones. Básicamente, relaciona patrones de la naturaleza. Es más inductivo que deductivo.

Por otro lado, no veo ninguna razón que impida programar un ordenador que relacione patrones, y funcione como el cerebro. Un ordenador no tiene por qué funcionar solamente como un sistema axiomático.

Saludos

[Jaime Rudas]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

El cerebro humano (al menos el de Kurt Godel) es capaz de demostrar el teorema de Godel. Entiendo que ningun sistema axiomático (sea del orden que fuere) puede demostrar esto.

¿Qué significa 'demostrar' algo en este contexto? Según yo lo entiendo, significa deducir ese algo de los axiomas de un determinado sistema lógico siguiendo los procedimientos establecidos en el mismo. Para el caso de los teoremas de incompletitud, lo que entiendo que hizo Gödel fue demostrar que esos teoremas se deducen de los axiomas de la lógica matemática, o sea, que son teoremas que pertenecen a ese sistema axiomático en particular.

El cerebro no funciona como un sistema axiomático. El cerebro es un organo que ha evolucionado para ayudarnos a cazar gacelas y que no nos cacen los leones. Básicamente, relaciona patrones de la naturaleza. Es más inductivo que deductivo.

Estoy de acuerdo: una de las principales funciones del cerebro es procesar la información externa y detectar patrones (reiteraciones) en ella, o sea, establecer leyes de comportamiento con base en la repetición: por inducción.

[Weip]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

¿Qué significa 'demostrar' algo en este contexto? Según yo lo entiendo, significa deducir ese algo de los axiomas de un determinado sistema lógico siguiendo los procedimientos establecidos en el mismo. Para el caso de los teoremas de incompletitud, lo que entiendo que hizo Gödel fue demostrar que esos teoremas se deducen de los axiomas de la lógica matemática, o sea, que son teoremas que pertenecen a ese sistema axiomático en particular.

En este contexto significa dar un argumento riguroso pero informal sobre este hecho. Por otro lado, la lógica matemática por sí sola no tiene axiomas. La puedes formalizar en alguna teoría axiomática, pero entonces ya depende de la teoría y carroza no ha especificado ninguna al escribir su mensaje.

También estoy de acuerdo con lo que dice carroza.

[Jaime Rudas]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

En este contexto significa dar un argumento riguroso pero informal sobre este hecho. Por otro lado, la lógica matemática por sí sola no tiene axiomas. La puedes formalizar en alguna teoría axiomática, pero entonces ya depende de la teoría y carroza no ha especificado ninguna al escribir su mensaje.

No entiendo mucho de esto, pero ¿significa que los teoremas de completitud no son algo que se deduzca necesariamente de unas determinadas premisas?

[Everett IV]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

No te líes, Weip, hay 3 teoremas importantes de Gödel:

Teorema de completitud $\to$ Toda teoría consistente en un lenguaje de primer orden tiene un modelo (en realidad el teorema que lleva este título es otro, pero Carlos Ivorra lo llama así en su libro de Lógica), el que normalmente se llama de completitud dice que e[FONT=Georgia]n una [/FONT]lógica de primer orden[FONT=Georgia], toda fórmula que es válida en un sentido lógico es demostrable[/FONT]

Primer teorema de incompletitud: [FONT=Georgia, serif]Todos los sistemas axiomáticos en un[/FONT]na teoría de primer orden recursiva ( con un número finito o infinito de axiomas, pero para cada axioma hay un algoritmo que nos permite saber si pertenece a la teoría o no, AP1 y ZFC cumplen esta condición, aunque tienen esquemas axiomáticos (conjuntos de infinitos axiomas, pero son recursivos), donde se pueda desarrollar la aritmética de los números naturales, es necesariamente incompleta (hay fórmulas del lenguaje de la teoría que van a ser verdaderas en unos modelos y falsas en otros, por lo tanto, no demostrables con la lógica de primer orden)

Segundo teorema de incompletitud: Una teoría de primer orden que en la que se pueda desarrollar la aritmética de los números naturales, no puede desde dentro de ella, demostrar su consistencia, al menos que sea inconsistente. Por eso muchos matemáticos creen que una teoría que explique todas las matemáticas no tiene por qué existir, dado que debería entre otras cosas su propia consistencia desde dentro.

Jaime se refiere a que estos tres teoremas se refieren a todas las teorías recursivas en las que se pueda desarrollar la aritmética de los números naturales con las definiciones adecuadas. No veo que quiere decir con la expresión "determinadas premisas" en sus mensajes, pero supongo que se refiere a lo que te he dicho en este último párrafo.