Lógica con la que razona el cerebro humano

[Weip]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

No te líes, Weip, hay 3 teoremas importantes de Gödel:

No me he liado. Tengo claro que hay tres teoremas importantes con el nombre de Gödel. Igual has leído lo de Jaime:

teoremas de completitud

Que lo ha dicho en plural cuando teorema de completitud así tal cual solo hay uno. En todo caso respondo a Jaime: efectivamente este tipo de teoremas no se deducen a partir de unas premisas en el sentido de que no los deduces de ningún conjunto de axiomas ni consecuencias de estos a través de reglas de inferencia. Esta parte de las matemáticas es un poco diferente porque tienes que razonar con las teorías "desde fuera".

[Jaime Rudas]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

lo ha dicho en plural cuando teorema de completitud así tal cual solo hay uno.

Como ya indiqué, conozco poco del tema, pero siempre los oí mencionar en plural. Por ejemplo, aquí o aquí.

efectivamente este tipo de teoremas no se deducen a partir de unas premisas en el sentido de que no los deduces de ningún conjunto de axiomas ni consecuencias de estos a través de reglas de inferencia. Esta parte de las matemáticas es un poco diferente porque tienes que razonar con las teorías "desde fuera".

Pero, entonces ¿en qué se basan esas demostraciones? O sea, ¿son realmente rigurosas?


¿Podrías indicarme algún texto para iniciarme en estos temas?


Gracias y saludos

[Weip]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

Como ya indiqué, conozco poco del tema, pero siempre los oí mencionar en plural. Por ejemplo, aquí o aquí.

No hay que confundir el teorema de completitud de Gödel con los teoremas de incompletitud de Gödel (la wikipedia lo explica todo bastante mal, la cito solo para que sepas de la existencia del teorema).

Pero, entonces ¿en qué se basan esas demostraciones? O sea, ¿son realmente rigurosas?

Igual habría que abrir otro hilo si quieres que entremos en más profundidad así que lo digo en pocas palabras: son rigurosas, pero no son formales. Aquí con "riguroso" me refiero a que todos lo que decimos tiene un significado muy concreto. Y con "no formal" o "informal" me refiero a que no razonamos usando axiomas y reglas de inferencia como el resto de las matemáticas porque no los tenemos. El motivo para razonar informalmente es el que hemos estado dando vueltas durante varios mensajes: si quieres fundamentar el razonamiento formal, no puedes razonar formalmente. Si quieres definir el concepto de teoría axiomática, no puedes usar para ello una teoría axiomática. Esta es la idea. A estos razonamientos informales se les llama razonamientos metamatemáticos (a pesar del nombre la metamatemática sigue siendo matemáticas; no se debe confundirse con la situación de la metafísica, que forma parte de la filosofía).

¿Podrías indicarme algún texto para iniciarme en estos temas?

En castellano no conozco. Existe el de Carlos Ivorra que es un libro excelente, pero bajo mi punto de vista no lo es para introducirse en el tema. Es muy duro de leer. Yo acudí a él cuando ya había leído este. Está en inglés pero es que no conozco en castellano que sean lo suficientemente completos. Espero haberte ayudado.

[Everett IV]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

No, weip, me confundí, es que el teorema que te conté no es el que se llama teorema de completitud. Es más potente, dice que cualquier teoría consistente de primer orden tiene un modelo. El verdadero teorema de competitud sólo afirma que cualquier fórmula lógica que se deduzca mediante el cálculo deductivo de primer orden de un axioma lógico es verdadero, pero ambos los demostró Gödel. El que yo llamo de completitud creo que se llama de completitud semántica, pero no lo sé, porque Carlos Ivorra en su libro de lógica no da el nombre de ese teorema. De incompletitud si son 2, los 2 que te he contado

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Sí, Weip, me refiero a la lógica de primer orden que enlazas en wikipedia, nada de cosas tecnológicas, lo que se conoce en matemáticas y filosofía como lógica de primer orden. Esa lógica no puede distinguir números estándar y no estándar. Los número estándar se pueden distinguir porque es el modelo mínimo de los axiomas de Peano, en el sentido de que como todos los números naturales estándar son definibles, coges el conjunto en el que todo número tiene un siguiente, y si tenemos que elegir entre 2 modelos distintos que tengan todos los números definibles, buscamos un número que tenga una descripción propia en uno e impropia en el otro, y nos quedamos con el que tenga la descripción propia para ese número. Si llevamos este proceso hasta dónde haga falta, incluso con números transfinitos o cualquier número natural, estándar o no estándar, el modelo que nos queda al final es el modelo estándar. Pero todo esto que metamatemáticamente está claro, no se puede expresar en lógica de primer orden. Esa era la solución a mi pregunta que buscaba

[Weip]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

Sí, Weip, me refiero a la lógica de primer orden que enlazas en wikipedia, nada de cosas tecnológicas, lo que se conoce en matemáticas y filosofía como lógica de primer orden.

Ostras pero esa es la primera intervención que he hecho. Bueno, creo que a todo el mundo ya le había quedado claro que hablas de lógica matemática y no de redes neuronales con tus otros mensajes. ¿Entonces lo de que la lógica matemática no tiene axiomas lo has leído? Me refiero al mensaje 10.

creo que se llama de completitud semántica, porque Carlos Ivorra en su libro de lógica no da el nombre de ese teorema.

El de completitud semántica está en la página 125.

No, weip, me confundí, es que el teorema que te conté no es el que se llama teorema de completitud. Es más potente, dice que cualquier teoría consistente de primer orden tiene un modelo.

Supongo que te refieres al teorema de Löwenheim-Skolem con el detalle de que la conclusión es que se tiene al menos un modelo numerable.

Pero todo esto que metamatemáticamente está claro, no se puede expresar en lógica de primer orden.

No acabo de ver el hilo conductor de tu anterior argumento. A mi modo de ver también está claro en la lógica de primer orden.

[Everett IV]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

Ostras pero esa es la primera intervención que he hecho. Bueno, creo que a todo el mundo ya le había quedado claro que hablas de lógica matemática y no de redes neuronales con tus otros mensajes. ¿Entonces lo de que la lógica matemática no tiene axiomas lo has leído? Me refiero al mensaje 10.


El de completitud semántica está en la página 125.




No acabo de ver el hilo conductor de tu anterior argumento. A mi modo de ver también está claro en la lógica de primer orden.

No, en lenguajes de primer orden es imposible "quitarse" los modelos no estándar. Puedes colar números matemática infinitos, como el nº de Gödel que demuestra la inconsistencia de la teoría aritmética de Peano en primer orden, no puede ser un número estándar, porque entonces la demostración de la inconsistencia de los números naturales con su suma y producto sería real, y nadie se cree que los números naturales de contar que manejamos todos, no tenga esas propiedades. Todo eso lo explica muy bien, aunque ya sabes que son libros muy meticulosos y necesitas tiempo para leerlo y entenderlo, Ivorra en Lógica y Teoría de Conjuntos



Supongo que te refieres al teorema de Löwenheim-Skolem con el detalle de que la conclusión es que se tiene al menos un modelo numerable.

El teorema de Löwenheim-Skolem se aplica a teorías que tienen un modelo dentro de la teoría de conjuntos, y tienen un modelo numerable entendiendo modelo como un conjunto o clase con una relación de pertenencia (que puede no ser la estandar) visto desde la teoría de conjuntos, que ha de ser numerable desde dentro de la teoría de conjuntos. El teorema que Ivorra llama de Completitud dice que toda teoría de primer orden tiene un modelo si es consistente y el recíproco, toda teoría que tiene un modelo es consistente (el reciproco es trivial) . Por ejemplo, aunque en el caso de la aritmética de Peano se aplica el recíproco, una vez sabemos que los axiomas de Peano son consistentes, podemos buscar modelos no estándar, se puede deducir del segundo teorema de incompletitud, así creo que lo hace Ivorra en su libro, ahora no me acuerdo. Es una de las formas. Mientras que el de Lowenheim-Skölem sólo se aplica en ZFC,y no estoy seguro de si en otras teorías, pero siempre teorías de conjuntos, mientras que el de incompletitud es más general

[Weip]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

No, en lenguajes de primer orden es imposible "quitarse" los modelos no estándar.

Ya. El problema es que no entiendo tu argumento. Primero dices:

Esa lógica no puede distinguir números estándar y no estándar.

Y acto seguido:

Los número estándar se pueden distinguir...

¿Dices que se pueden distinguir o que no? Porque has puesto ambas opciones. Y no sé qué concluyes exactamente. Parece que quieras decir que el único modelo posible para la aritmética de Peano es el estándar (que lo dudo) y luego dices que esa es la solución a tu pregunta, pero ¿a qué pregunta? ¿a la del primer mensaje? porque no veo nada claro que tiene que ver con lo de la lógica del cerebro. Lo dicho, no entiendo que tratas de decir.

El teorema de Löwenheim-Skolem

¿Entonces al final te referías a este teorema?

Mientras que el de Lowenheim-Skölem sólo se aplica en ZFC,y no estoy seguro de si en otras teorías, pero siempre teorías de conjuntos, mientras que el de incompletitud es más general

Este teorema se enuncia para teorías axiomáticas que cumplan las hipótesis, no solo se aplica con teorías de conjuntos.

[Everett IV]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

¿Dices que se pueden distinguir o que no? Porque has puesto ambas opciones. Y no sé qué concluyes exactamente. Parece que quieras decir que el único modelo posible para la aritmética de Peano es el estándar (que lo dudo) y luego dices que esa es la solución a tu pregunta, pero ¿a qué pregunta? ¿a la del primer mensaje? porque no veo nada claro que tiene que ver con lo de la lógica del cerebro. Lo dicho, no entiendo que tratas de decir.

Si, se pueden distinguir, pero por metamatemática, no por el sistema deductivo ni el lenguaje de primer orden. Ya te han contado en este foro, que hay demostraciones rigurosas que no son formalizables en lógica de primer orden. Por eso mi interés en saber, que aún nadie me ha respondido la pregunta por desgracia, que lógica usamos cuando hablamos en nuestros idiomas naturales, es la de primer orden pero aumentada, y no sé con que razonamientos, este de la distinción de número estándar y no estándar no creo que sea la única cosa adicionada a la lógica de nuestro lenguaje natural, habrá mas cosas que añadir a la lógica de primer orden y el razonamiento de los estándar y no estándar

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Yo hablo del cálculo deductivo de primer orden, nada que ver con cosas tecnológicas, interesante tu explicación, pero no entendiste bien la pregunta, quizá debería haber dicho lógica a secas o sistema deductivo de una lógica

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El cerebro humano (al menos el de Kurt Godel) es capaz de demostrar el teorema de Godel. Entiendo que ningun sistema axiomático (sea del orden que fuere) puede demostrar esto.

Saludos

Comparto esta opinión, por eso me gustaría saber que razonamientos (formales o informales) complementa a nuestro cerebro cuando pensamos y hablamos en nuestro lenguaje natural.

[Weip]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

Ya te han contado en este foro, que hay demostraciones rigurosas que no son formalizables en lógica de primer orden.

Eso se lo he dicho yo a Jaime. Te estás confundiendo de usuario.

Por eso mi interés en saber, que aún nadie me ha respondido la pregunta por desgracia, que lógica usamos cuando hablamos en nuestros idiomas naturales

En este hilo lo expliqué, igual te puede ser útil. Que por cierto, si no es indiscreción, ¿eres Everett IV? Escribís de la misma forma y preguntáis por las mismas cosas.

Yo hablo del cálculo deductivo de primer orden, nada que ver con cosas tecnológicas, interesante tu explicación, pero no entendiste bien la pregunta, quizá debería haber dicho lógica a secas o sistema deductivo de una lógica

Comparto esta opinión, por eso me gustaría saber que razonamientos (formales o informales) complementa a nuestro cerebro cuando pensamos y hablamos en nuestro lenguaje natural.

Rulalamax, deberías leer lo que ponemos otros usuarios antes de seguir con el debate. Estás respondiendo a cosas dichas por guibix, por carroza y por mí de hace unos cuantos días cuando desde entonces has intervenido muchas veces en el hilo. ¿Las demás respuestas del hilo están más o menos claras?

[Everett IV]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

Supongo que te refieres

al teorema de Löwenheim-Skolem con el detalle de que la conclusión es que se tiene al menos un modelo numerable.

Hola, Weip. El teorema de Löwenheim-Skolem habla de un modelo numerable dentro de una teoría de conjuntos, así que se refiere a teorías que aunque no sean la teoría de conjuntos, apelan a ella. Un modelo numerable dentro de una teoría que use el concepto de conjunto es numerable metamatemáticamente. El teorema de completitud (se le suele llamar así, aunque hay otro teorema que también se llama de completitud, que es un colorario del nuestro, que toda teoría consistente en lenguaje de primer orden tiene un modelo numerable metamatemáticamente). Algunos matemáticos, Carlos Ivorra entre ellos, dicen que no se ha demostrado la existencia de modelos metamatemáticamente no numerables para las teorías de primer orden sintácticamente consistentes.

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Supongo que te refieres

al teorema de Löwenheim-Skolem con el detalle de que la conclusión es que se tiene al menos un modelo numerable.

Hola, Weip. El teorema de Löwenheim-Skolem habla de un modelo numerable dentro de una teoría de conjuntos, así que se refiere a teorías que aunque no sean la teoría de conjuntos, apelan a ella. Un modelo numerable dentro de una teoría que use el concepto de conjunto es numerable metamatemáticamente. El teorema de completitud (se le suele llamar así, aunque hay otro teorema que también se llama de completitud, que es un colorario del nuestro, que toda teoría consistente en lenguaje de primer orden tiene un modelo numerable metamatemáticamente). Algunos matemáticos, Carlos Ivorra entre ellos, dicen que no se ha demostrado la existencia de modelos metamatemáticamente no numerables para las teorías de primer orden sintácticamente consistentes. El bosón de Higgs tiene la misma relación con la lógica que cualquier postulado o teorema de la física.

[Alriga]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

En este hilo lo expliqué, igual te puede ser útil. Que por cierto, si no es indiscreción, ¿eres Everett IV? Escribís de la misma forma y preguntáis por las mismas cosas.

No te ha contestado, pero además de escribir igual y preguntar lo mismo, también coincide que "Everett IV" desapareció de la web el 15/10 y "Rulalamax" se dio de alta el 16/10.

[Weip]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

Hola, Weip. El teorema de Löwenheim-Skolem habla de un modelo numerable dentro de una teoría de conjuntos, así que se refiere a teorías que aunque no sean la teoría de conjuntos, apelan a ella.

No apelan a ella. En este contexto "numerable" no se refiere al concepto de numerabilidad en teorías de conjuntos. Quiere decir que los objetos del universo del modelo se pueden etiquetar, y no nos mezclamos ni con los cardinales ni con las aplicaciones biyectivas de las teorías de conjuntos. También hay condiciones de numerabilidad en la misma definición de lenguaje formal de primer orden sin estar dentro de ninguna teoría.

El bosón de Higgs tiene la misma relación con la lógica que cualquier postulado o teorema de la física.

Dado el contexto no sé qué tiene que ver el bosón de Higgs en el debate.

No te ha contestado, pero además de escribir igual y preguntar lo mismo, también coincide que "Everett IV" desapareció de la web el 15/10 y "Rulalamax" se dio de alta el 16/10.

Rulalamax no me ha contestado pero seguramente sea así. Gracias por mirarlo. Más que nada por saber con quién hablo.

[Everett IV]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

La desaparición de Everett y la aparición de Rulalamax no tiene nada que ver con afán de protagonismo, sino con cosas que atañen a nadie que no sea moderador del foro. Te pido disculpas, pero yo no te puedo decir que seamos la misma persona, por razones, que como ya digo, no tienen que ver sino con algún moderador del foro. . En el link de la Wikipedia que me ha puesto del teorema LS, el enunciado es clavado al teorema de completitud de Gödel. Y habla en la página de varias cardinalidades, no está claro que metamatemáticamente haya varias cardinalidades infinitas si no es en el contexto de una teoría inmersa en una teoría de conjuntos que tenga cardinales.Pregunta a Carlos Ivorra en el otro foro, porque ya me haces dudar

[Weip]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

La desaparición de Everett y la aparición de Rulalamax no tiene nada que ver con afán de protagonismo

No lo preguntaba por eso eh, que conste, solo era por saberlo. Sobre el resto del mensaje, una cosa es la validez del teorema y otra que tenga importancia en el caso particular de que la teoría sea una teoría de conjuntos.

[Everett IV]

Re: Lógica con la que razona el cerebro humano

Chicxs, me gustaría más una opinión concreta sobre la primera pregunta (en parte yo dejé también determinar el tema)