Secundaria Composición de funciones

[The Higgs Particle]

Si tenemos que $f(x) = y$ y $f^{-1}(y) = x$

¿Cómo se demuestra que $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = i$?

$(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(y) = x$, pero con $f(f^{-1}(x))$ ¿cómo sale este resultado también $x$?

[pod]

Re: Composición de funciones

Yo diría que eso es parte de la definición de $f^{-1}$. Es decir, $f^{-1}$ es la inversa de $f$ si cumple que la composición es igual a la identidad de las dos formas.

[angel relativamente]

Re: Composición de funciones

Hola. Como te dice pod la función $f^{-1}$ está definida como la función que al componerla con $f$ da la identidad. No obstante, hay que aclarar que el dominio de $f$ y $f^-1$ es distinto. Si la función es biyectiva (condición que se suele pedir para que la función tenga inversa), $f: U \to V$ entonces $f^{-1}: V \to U$. Sea $x\in U$ y $f(x)=y\in V$. Se tiene por definición que $f^{-1}(y)=x$. Por tanto $f(f^{-1}(y))=f(x)=y$ (al componer $f$ con $f^{-1}$ los elementos de $y\in V$ no los cambia). Por otro lado, $f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x$ (al componer $f^{-1}$ con $f$ los elementos de $x\in U$ no los cambia). Observa que ambas composiciones son la identidad pero son identidades distintas (una aplicada sobre elementos de U y otra sobre elementos de V). Comúnmente se toma $U=V=\mathbb{R}$.