Secundaria Ecuación entera

[zhazzu]

Excepcional explicacion. Gracias.

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Otro problema:
- Encuentra todas las soluciones enteras de la ecuacion 5 ( x + y ) = x*y

Para este problema, he hecho lo siguiente:
La expresion dada, puede escribirse como x*y / (x + y) = 5. Que a su vez puede reescribirse como x* ((y)/x+y) = 5 con x+y diferente de 0 . Como los unicos divisores de 5 son 1 y 5, eso significa que debe ocurrir x=5 o x=1. Entonces, sustituyamos x=1 en la ecuacion dada en el enunciado ( 5 ( x + y ) = x*y ).
Esto nos queda 5( 1 + y) = y. Despejamos y = -5/4.
Obviamente esto esta mal porque no he obtenido dos soluciones enteras y mucho menos he obtenido soluciones generales. Por cierto, el x=0, y=0 tambien es solucion y no lo he encontrado.
En definitiva, se que esta mal mi solucion pero alomejor la idea inicial es buena. No lo sé.

Otro problema:

Demuestra que si x, y son dos elementos impares de Z, entonces x^2 + y^2 no es el cuadrado de ningun entero. (Indicacion: Pensar en terminos de residuos modulo 4)

[Richard R Richard]

Re: Problema Aritmetica

Por favor... siempre que empieces un nuevo problema o pregunta que quieras resolver utiliza un nuevo hilo Gracias

- Encuentra todas las soluciones enteras de la ecuacion 5 ( x + y ) = x*y


Para este problema, he hecho lo siguiente:
La expresion dada, puede escribirse como x*y / (x + y) = 5. Que a su vez puede reescribirse como x* ((y)/x+y) = 5 con x+y diferente de 0 . Como los unicos divisores de 5 son 1 y 5, eso significa que debe ocurrir x=5 o x=1. Entonces, sustituyamos x=1 en la ecuacion dada en el enunciado ( 5 ( x + y ) = x*y ).
Esto nos queda 5( 1 + y) = y. Despejamos y = -5/4.
Obviamente esto esta mal porque no he obtenido dos soluciones enteras y mucho menos he obtenido soluciones generales. Por cierto, el x=0, y=0 tambien es solucion y no lo he encontrado.
En definitiva, se que esta mal mi solucion pero alomejor la idea inicial es buena. No lo sé.

haz

$\dfrac 15 =\dfrac{x+y}{x\cdot y}=\dfrac 1y+\dfrac 1x$

Luego

$\dfrac 15 -\dfrac 1x=\dfrac 1y$

entonces


$y =\dfrac 1{\dfrac 15 -\dfrac 1x}=\dfrac {5x}{x-5}=$

asi sabes que como y debe ser entero entonces(x-5) es un divisor de 5x analizando concluyes que x es multiplo de 5

sabiendo que ni x ni y pueden ser 0

puedes escribir x como

$x=5 \cdot n$ siendo n otro entero

entonces

$y=\dfrac {25n}{5n-5}=\dfrac {5n}{n-1}$

luego para que y sea entero $\dfrac {n}{n-1}$ debe se entero y esto se da solo cuando $n=2$

por lo que

$$x=5\cdot n=5\cdot 2=10$$

entonces

$$y=\dfrac {5n}{n-1}=\dfrac {5\cdot 2}{2-1}=10$$

entonces $\boxed{x=10}$ y $\boxed{y=10}$


Saludos $R^3$

[zhazzu]

Re: Problema Aritmetica

Pero no cubre todas las soluciones. Es decir x=6 , y= 30 tambien son soluciones. x=0, y=0 tambien. Creo que el problema esta en lo que haces para que y sea entero. Es decir, solo tomas n=2 pero podria haber mas numeros que lo cumplan. Como sacar todos los numeros que cumplan que y sea un entero ?

[Weip]

Re: Problema Aritmetica

$5(x+y)=xy$ es equivalente a $(x-5)(y-5)=25$. Los divisores de 25 (cuidado aquí porque los negativos también los has de considerar) son 1, 5, 25, -1, -5, -25. Haciendo (por ejemplo) y-5=1 obtenemos y=6 y sustituyendo en la ecuación inicial (ahora una simple ecuación de primer grado) nos da x=30. Ves haciendo. Las soluciones son estas (pincha "more roots" para que aparezca la última).

Entiendo que la dificultad está en ver que la ecuación se puede poner como $(x-5)(y-5)=25$. Si es la primera vez que ves algo así no te preocupes, tu practica y con el tiempo adquirirás un sexto sentido para hacer estos "trucos".

[zhazzu]

Re: Problema Aritmetica

Gracias por la indicacion weip. Logré deducir de donde sale (5-y)(5-x)=25. Es un poco rebuscado.

[Richard R Richard]

Re: Problema Aritmetica

x=0 e y=0 no son solucion pues te lo aclara el enunciado

$5 ( 6 + 30 ) = 6\cdot 30$ es solucion tienes razon pense que era unica,


el tema es el siguiente y sera entero tambien si

$\dfrac {5}{n-1}$es un entero lo que sucede claramente cuando n=6

$\dfrac {5}{6-1}=1$

sabiendo que 5 no tiene otros divisores y que n podra tener divisores pero no coincidiran con los divisores de n-1 salvo cuando n=2

no quedarian otros divisores y serian los unicos juegos de valores

Viendo weip esta claro no considere valores negativos

Saludos