Divulgación Consulta sobre metodos matemáticos en mecanica matricial

[inakigarber]

Buenas noches;
A vueltas de nuevo con la mecánica cuántica he vuelto a encontrarme en este foro con una afirmación que no entiendo. Donde dice "Falta por demostrar que la desigualdad se mantendrá en pie aún cuando ambas esperanzas matemáticas <L²> y <K²> son iguales a cero..."
Parte de una ecuación $(K+wL)(K+w^*L)\geqslant0$ que ya se ha desarrollado anteriormente (con alguna ayuda recibida en este foro) y parte también de $w=-<KL>$ para llegar a la relación $w^*=-<KL>^*$.

Cuando intento hacerlo llego a una conclusión pero no estoy seguro de que sea o no cierta. Veamos.
$(K+wL)(K+w^*L)\geqslant0$ desarrollando el binomio $(K^2+w^*KL+wLK+ww^*L^2)>=0$ expresándolo en función de la esperanzas matemáticas $\left(<K^2>+w^*<KL>+w<LK>+ww^*<L^2>\right)\geqslant0$, como <L²> y <K²>=0 y $w=-<KL>$, entonces me sale;
$\left(w^*<KL>-<KL><LK>\right)\geqslant0$ Despejando me sale; $w^*\geqslant<LK>$

Que al menos aparentemente no es igual que lo que sale en el foro. ¿Estoy equivocado yo? ¿En que? En caso contrario ¿Podría ser que $-<KL>^*$ y $<LK>$ fueran iguales?
Saludos y gracias.

[alexpglez]

Re: Consulta sobre metodos matemáticos en mecanica matricial

Buenas noches;
A vueltas de nuevo con la mecánica cuántica he vuelto a encontrarme en este foro con una afirmación que no entiendo. Donde dice "Falta por demostrar que la desigualdad se mantendrá en pie aún cuando ambas esperanzas matemáticas <L²> y <K²> son iguales a cero..."
Parte de una ecuación $(K+wL)(K+w^*L)\geqslant0$ que ya se ha desarrollado anteriormente (con alguna ayuda recibida en este foro) y parte también de $w=-<KL>$ para llegar a la relación $w^*=-<KL>^*$.

No, no trata de desarrollar nada, * significa el complejo, por tanto es calcular el número complejo de ambos lados.

- - - Actualizado - - -

Por otra parte, no entiendo muy bien ese apartado en concreto, no soy experto en matrices, necesito algo de más álgebra lineal. Pero vamos a ver, que me corrija alguien ahora. La desigualdad de la que partes es con L, K hermitianas y sólo es válido para la media no¿?
Vamos a hacerlo primero para que lo veas, con vectores clásicos:
Hay que tener en mente la definición de producto escalar. (indico sin símbolo de vector y barras a los módulos, para que me sea más sencillo).

$$\vec a \cdot \vec b=a b \cos (a,b)$$

Pero $-1\leq \cos (a,b) \leq +1$, $-a b \leq a b \cos (a,b) \leq +a b$ ó, elevando, $(a b \cos (a,b))^2= (\vec a \cdot \vec b)^2 \leq a^2 b^2$.
Ahora bien (fíjate que tiene mucha pinta a la desigualdad que quieres demostrar), esta desigualdad nos sirve para 3D, pero lo tenemos que demostrar para n D y para espacios complejos como con el que estás trabajando en mecánica cuántica (creo que se llama así). Vamos a dejar por un lado el afán de demostrar, y vamos a hablar de comprobar si esa igualdad se cumple para n D.

Vamos a desarrollar la definición de módulo a partir de propiedad distributiva del producto escalar. Tenemos que $\vert \vec a \vert = \sqrt{\vec a \cdot \vec a} \geq 0$ (que se puede interpretar en 3D que si a partir de un vector calculas su longitud, esta no da negativa), también tienes la propiedad distributiva, $\vec u \cdot (\vec b + \vec c)=\vec u\cdot \vec b + \vec u\cdot \vec c$.
Ahora, llamando $\vec a = \vec u + \lambda \vec v$:

$$\vert \vec a \vert \geq 0 \;\;\; \vec a \cdot \vec a \geq 0 \;\;\; (\vec u + \lambda \vec v)\cdot (\vec u + \lambda \vec v) \geq 0$$

$$\vec u \cdot \vec u + \lambda^2 \vec v \cdot\vec v+2 \lambda \vec u \cdot\vec v \geq 0$$

Podemos simplificar un poco..

$$u^2 + \lambda^2 v^2+2 \lambda \vec u \cdot\vec v \geq 0 \;\;\; u^2 \geq -( \lambda^2 v^2+2 \lambda \vec u \cdot\vec v) \;\;\; u^2 v^2 \geq -v^2( \lambda^2 v^2+2 \lambda \vec u \cdot\vec v)$$

Y comparando esto con la expresión que buscamos: $u^2 v^2 \geq (\vec u \cdot \vec v)^2$, llegamos a la conclusión de que para que exista, una posibilidad sería que, como $\lambda$ es arbitrario, cumpliese:

$$-v^2( \lambda^2 v^2+2 \lambda \vec u \cdot\vec v)=(\vec u \cdot \vec v)^2$$

De aquí (esto es una ecuación de segundo grado en lambda), se obtiene que $\lambda=-\frac{\vec u \cdot \vec v}{v^2}$. Es decir, como existe un valor de lambda que cumpla con la ecuación, finalmente hemos demostrado que:

$$u^2 v^2 \geq (\vec u \cdot \vec v)^2$$

Hago una pausa para que lo vayas viendo y pienses las dudas, si entiendes esto, la parte que queda es sencilla.

Por cierto, esta famosa desigualdad se llama desigualdad de Cauchy-Schwarz. Que se da tanto en espacios vectoriales, series, funciones (bueno, se pueden interpretar estas como un espacio vectorial).

¿Que tal llevas los conceptos de mecánica cuántica? (Voy a hacer un breve repaso, no habiendo leído del todo esos apartados primeros, pero si otros de mecánica ondulatoria, asi que ya me dirás que tal entiendes)
La mecánica cuántica postula que hay un vector (llamémosles $\vec x$, que te da la información del sistema. En concreto, si los vectores de la base y el vector $x$ son ortonormales*, la probabilidad de estar en cierto estado $i$ es $\vert x_i \vert ^2=x_i^* x_i$, dónde $x_i$ son los componentes del vector $\vec x$.
(*Por tanto aquí el sentido ortonormal es equivalente a decir que los estados se excluyen, por ejemplo, un bit puede estar en 1 o en 0, son estados excluyentes ya que si está en 1, no está en 0, pero eso no quita que un estado cuántico se defina como una combinación lineal de los dos, un qubit en computación cuántica sería este ejemplo... En lo matemático se refiere a $\hat e_i \cdot \hat e_j = \delta_{i j}$ y $\vec x^t \vec x=\sum x_i^* x_i=1$).
De aquí deducimos que siendo $\lambda_i$ una magnitud del estado $i$ (o sea un valor propio), la media de tal magnitud:

$$<\lambda>=\sum_i x_i^* \lambda_i x_i=\sum_{i,j} x_i^* \lambda_i \delta_{i j} x_j=\sum_{i,j} x_i^* \lambda_{ij} x_j=\vec x^t \lambda \vec x$$

Dónde llamamos la matriz, $\lambda_{i j} =\sum_{i} \lambda_{i} \delta_{i j}$, o sea una matriz diagonal con los valores propios. Por tanto el trabajo calculístico muchas veces trata de encontrar estas condiciones, que la base sea ortonormal, y las matrices sean diagonales.

Haciendo una analogía con el espacio real, tenemos que el producto escalar o interno:

$$\vec x \cdot \vec y \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \vec x^t \vec y$$

Habiendo definido ya el espacio, ahora vamos a demostrar la desigualdad de cauchy. $\vec b^t \vec b \geq 0$ (Esto es verdad, ya que la suma sólo contiene términos cuadrados de los valores absolutos de las componentes). Para ello al igual que antes llamamos: $\vec b=\vec u+\lambda \vec v$ y entonces, $\vec b^t=\vec u^t+\lambda ^* \vec v^t$. Calculamos el producto.

$$\vec b^t \vec b=(\vec u^t+\lambda ^* \vec v^t)(\vec u+\lambda \vec v)=\vec u^t \vec u + \lambda ^* \lambda \vec v^t\vec v+\lambda ^* \vec v^t\vec u+\lambda \vec u^t \vec v \geq 0$$

Dejando en el primer término, $u^t u$ y multiplicando a ambos lados * $v^t v$

$$\vec u^t \vec u \vec v^t \vec v \geq -\vec v^t \vec v( \lambda ^* \lambda \vec v^t\vec v+\lambda ^* \vec v^t\vec u+\lambda \vec u^t \vec v)$$

Comparando la desigualdad en espacios reales $\vec u ^2 \vec v ^2 \geq (\vec u \cdot \vec v)^2$, como sabemos que un producto $\vec u^t \vec v$ es complejo, inferimos que el lado de la derecha tendrá que ser para sea positivo no el cuadrado si no el procuto por su conjugado, es decir. $(\vec u \cdot \vec v)^2 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \vert \vec u^t \vec v\vert ^2=(\vec u^t \vec v)(\vec u^t \vec v)^*=(\vec u^t \vec v)(\vec v^t \vec u)$.
Donde hemos usado antes: $((\vec u^t \vec v)^*=\vec v^t \vec u$, esto se demuestra ya que, $\vec u^T \vec v= \vec v^T \vec u=\sum_i v_i u_i$, entonces $(\vec u^t \vec v)^*= [(\vec u^T)^* \vec v]^*=\vec u ^T \vec v^*=(\vec v ^*)^T \vec u=\vec v^t \vec u$.
Así que finalmente tenemos la ecuación:

$$-(\vec v^t \vec v)( \lambda ^* \lambda \vec v^t\vec v+\lambda ^* \vec v^t\vec u+\lambda \vec u^t \vec v)=(\vec u^t \vec v) (\vec v^t \vec u)$$

Y al igual que antes si encontramos un valor lambda que lo cumpla, demostramos la desigualdad. Comprobemos una solución parecida al problema en el espacio real: $\lambda=-\frac{\vec v^t \vec u}{\vec v^t v}$

$$-(\vec v^t \vec v)[ \frac{(\vec v^t \vec u) (\vec u^t \vec v)}{(\vec v^t \vec v)^2} (\vec v^t\vec v)-\frac{(\vec u^t \vec v)}{(\vec v^t v)} (\vec v^t\vec u)-\frac{(\vec v^t \vec u)}{(\vec v^t v)}(\vec u^t \vec v)]=$$

$$=-(\vec v^t \vec u) (\vec u^t \vec v)+(\vec u^t \vec v) (\vec v^t\vec u)+(\vec v^t \vec u)(\vec u^t \vec v)=(\vec u^t \vec v) (\vec v^t \vec u)$$

Por lo que finalmente, hemos demostrado la identidad de cauchy-scharz:

$$(\vec u^t \vec u) (\vec v^t \vec v) \geq (\vec u^t \vec v) (\vec v^t \vec u)$$

Ahora, el caso que nos atañe que es demostrar la identidad $<A^2><B^2> \geq <AB><BA>$ siendo A y B hermíticas: $A^t=A \;\;\; B^t=B$. Es un caso particular de la desigualdad de scharz. Utilizando la definición de media:

$$<A^2>=\vec x^t A^2 \vec x=(A \vec x)^t (A \vec x)$$

$$<B^2>=\vec x^t B^2 \vec x=(B \vec x)^t (B \vec x)$$

$$<AB>=\vec x^t AB \vec x=(A \vec x)^t (B \vec x)$$

$$<BA>=\vec x^t BA \vec x=(B \vec x)^t (A \vec x)$$

Llamando $\vec u= A \vec x$ y $\vec v= B \vec x$, sustituyendo en la desigualdad de cauchy:

$$((A \vec x)^t A \vec x) ((B \vec x)^t B \vec x) \geq ((A \vec x)^t B \vec x) ((B \vec x)^t A \vec x)$$

$$<A^2><B^2> \geq <AB><BA>$$

El blog lo que trata es de demostrar directamente con matrices hermíticas y la media de matrices, pero creo que se acortan más las cuentas así. Quizá he alargado un poco más que lo que debería para explicar mejor cada cosa.

Saludos

- - - Actualizado - - -

Añado un link, sobre los espacios de Hilbert que igual te puede venir bien. http://www.ugr.es/~rpaya/documentos/...AFTema10_2.pdf

[inakigarber]

Re: Consulta sobre metodos matemáticos en mecanica matricial

Gracias por tu detallada respuesta. Supongo que te habrá llevado un tiempo responder.
Necesitaré tiempo para leerla mas detalladamente y responderte, ya que anticipa algunos aspectos que aparecen más adelante en el capitulo que estoy leyendo. Mi formación en física es autodidacta y mis conocimientos en matemática son limitados, pero poco a poco voy adelantando.
Para empezar como a veces me empeño en no leer bien las cosas y entender lo que no debo, no había caído en la cuenta que $w^*=-<KL>^*$ es una consecuencia de la propia posición de partida que da al definir $w=-<KL>$ y no un resultado que debía demostrarse a partir de la demostración de [TEX]w=-<KL>[/TEX y de $(K+wL)(K+w^*L)$ que por otra parte no es una igualdad ya que tiene valor $\geqslant0$. Releyendo de nuevo las notas, esta vez creo que empiezo a tenerlo más claro aunque aun necesitare un tiempo para asegurar conocimientos.
Seguire escribiendo al respecto.

[alexpglez]

Re: Consulta sobre metodos matemáticos en mecanica matricial

Que nivel tienes de matemáticas¿? En concreto de cálculo matricial, álgebra lineal y cálculo diferencial e integral¿?
Yo también soy autodidacta, (bueno, partía del nivel de 1º de bachillerato, ahora estoy en 2º..), y entiendo que cueste verlo, te recomiendo ir poco a poco, ir primero a lo matemático y después a lo físico. Como vi que preguntabas muchas veces por cosas parecidas, me quise detallar en la respuesta (aunque no lo preguntaras en la pregunta), además esa parte del blog es la que creo que viene menos clara.
Lo matemático lo digo porque tener claras propiedades de vectores, matrices, determinantes, conjugado, transpuesta, es fundamental para hacer cálculos en física. No me refiero sólo a conocer las propiedades y saber aplicarlas (básicamente como en el instituto), si no saber como se demuestran.

Saludos.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre metodos matemáticos en mecanica matricial

Que nivel tienes de matemáticas¿? En concreto de cálculo matricial, álgebra lineal y cálculo diferencial e integral¿?
Yo también soy autodidacta, (bueno, partía del nivel de 1º de bachillerato, ahora estoy en 2º..), y entiendo que cueste verlo, te recomiendo ir poco a poco, ir primero a lo matemático y después a lo físico. Como vi que preguntabas muchas veces por cosas parecidas, me quise detallar en la respuesta (aunque no lo preguntaras en la pregunta), además esa parte del blog es la que creo que viene menos clara.
Lo matemático lo digo porque tener claras propiedades de vectores, matrices, determinantes, conjugado, transpuesta, es fundamental para hacer cálculos en física. No me refiero sólo a conocer las propiedades y saber aplicarlas (básicamente como en el instituto), si no saber como se demuestran.

Saludos.

Perdona que no haya contestado antes. Se me había pasado. Mi nivel en Matemáticas no es muy elevado. Más bien lo contrario, pero creo que voy poco a poco aclarando y haciendo un poco de luz sobre este tema. Por de pronto, el desarrollo al que mencionaba al principio del hilo, ya no me resulta tan indigesto. Creo que con algunos repasos más lograre cogerle el gusto. Aunque aún creo que me falta madurar mas para poder darle un contenido físico a todo esto.
Saludos y feliz año.