1r ciclo Problema con un limite

[zhazzu]

Hola buenas, tengo un problema con un limite. No ando mas que dandole vueltas de que manera puedo proceder para resolverlo. Me gustaria que pudieseis ayudarme en lo posible. La solución es lo que menos me interesa. Lo que me interesa de verdad es el metodo por el que se resuelve ya que quiero aprender el proceso. Quizas si veo como se hace, una vez practique y practique mas ejercicios, este tipo de limites ya me saldran automaticamente. Por ahora aun necesito ver que nuevos procedimientos puedo seguir.

$$$ lim_{n \longrightarrow \inf} \frac{\sum_{k=1}^{n} \frac{5}{k}}{\ln n^2} $$$

Gracias de antemano !

[Alriga]

Re: Problema de límite con serie armónica. Constante de Euler-Mascheroni

$\dst \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\dst \sum_{k=1}^{n} \dfrac{5}{k}}{\ln n^2}=\dst \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{5 H_n}{2 \ln n}=\dfrac 5 2 \dst \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{H_n}{\ln n}$

Donde $H_n$ es la serie armónica. Es conocido que para n tendiendo a infinito la serie armónica solo difiere del logaritmo neperiano en una constante

$\dst \lim_{n \rightarrow \infty}[H_n-\ln n]=\gamma =0.57721566...$ A la constante $\gamma$ se le denomina Constante de Euler-Mascheroni

$\dfrac 5 2 \dst \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{H_n}{\ln n}=\dfrac 5 2 \cdot 1=\dfrac 5 2$

Saludos.

[zhazzu]

Re: Problema con un limite

Gracias por la respuesta. Creo que es algo mas avanzado de lo que estamos viendo.

Lo de que cuando n tiende a infinito la serie armonica solo difiere del ln en una constante es una cosa que no se aun. Es decir, por ahora solo me piden recurrir a limite de sucesiones. Existe algun proceso mas elemental ?

[alar]

Re: Problema con un limite

En este caso puedes usar el criterio de stolz https://es.wikipedia.org/wiki/Teorem...lz-Ces%C3%A0ro

Tomas $(a_{n})=\sum_{k=1}^{n} 1/k$ y $(b_{n})=ln(n^{2})$ y entonces tu limite $\displaystyle 5\frac{(a_{n})}{(b_{n})}=5\frac{((a_{n+1})-(a_{n})}{(b_{n+1})-(b_{n})}=5\frac{\frac{1}{n+1}}{ln(n+1)^{2})-ln(n^2)}$ $\displaystyle =5 \frac{1}{(n+1) ln((\frac{n+1}{n})^{2})}=5\frac{1}{2(n+1)ln(1+\frac{1}{n})}=\frac{5}{2} \frac{1}{(n+1)\frac{1}{n+1}}\to \frac{5}{2}$

[Alriga]

Re: Problema con un limite

Lo de que cuando n tiende a infinito la serie armonica solo difiere del ln en una constante es una cosa que no se aun

Aquí tienes una bonita demostración geométrica: EULER-MASCHERONI CONSTANT

Saludos.

[zhazzu]

Re: Problema con un limite

Gracias Alriga. Muy interesante.