1r ciclo Dudas sucesion de Fibonacci y numero aureo

[zhazzu]

Buenas, tengo unas dudas de como resolver unas curiosidades sobre la sucesion de Fibonacci y el numero aureo.

Lo que sabemos antes de empezar es lo siguiente (No es obligatorio usarlo para resolver) :

--> [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
--> $\phi^n = a_n \phi + a_{n-1}$
--> La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números naturals $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ definida per la recurrencia $a_0=a_1 = 1; a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$

Apartado (a):
Comprobar si es cierta la igualdad:
$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = a_{n+2}$
En caso que lo sea, demostrarla.



Apartado (b):
Si $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ es la sucesión de Fibonacci, demostrar que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

(Indicación: $\phi = 1 + \frac{1}{\phi}$ )


Apartado (c)
A partir de los resultados anteriores, podemos asegurar que
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$
existe y es $\phi$? Por que ?


*** Por cierto, como veis, en la definicion de sucesion de Fibonacci se dice en el enunciado que se construye por la recurrencia $a_0=a_1 = 1; a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$, pero en la wikipedia podemos encontrar lo siguiente $a_0=0 , a_1 = a_2= 1; a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$. Cual es la forma correcta ?

[Alriga]

Re: Dudas sucesion de Fibonacci y numero aureo

Apartado (a):
Comprobar si es cierta la igualdad: $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = a_{n+2}$ En caso que lo sea, demostrarla.

En este apartado a), con un contraejemplo se ve enseguida que no es cierta, por ejemplo: $a_1 + a_2 + a_3 = 1+1+2=4 \neq 5=a_{3+2}=a_5$
Lo que sí creo que se cumple siempre es que $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = a_{n+2}-1$
Si tengo tiempo, más tarde miraré los otros apartados, saludos.

[Weip]

Re: Dudas sucesion de Fibonacci y numero aureo

Apartado (c)
A partir de los resultados anteriores, podemos asegurar que
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$
existe y es $\phi$? Por que ?

Te ayudo con este apartado. Llama al límite que buscas $l$. Partimos de la relación de recurrencia $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$. Como $a_n$ es distinto de cero para cualquier $n$ podemos dividir y obtenemos $\frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac{a_{n-1}}{a_n}$. Pasando límites a ambos miembros de la igualdad y arreglando un poco la ecuación se llega a $l^2-l-1=0$, que tiene como solución $l=\dst\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$. Pero como todos los miembros de la sucesión son positivos para cualquier $n$ entonces te quedas con la solución $l=\dst\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

*** Por cierto, como veis, en la definicion de sucesion de Fibonacci se dice en el enunciado que se construye por la recurrencia $a_0=a_1 = 1; a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$, pero en la wikipedia podemos encontrar lo siguiente $a_0=0 , a_1 = a_2= 1; a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$. Cual es la forma correcta ?

A veces va mejor incluir el cero y otras veces no. Algo parecido pasa con los números naturales, según convenga empiezan en cero o en uno. Si el ejercicio te dice que empieza en uno, pues empieza en uno. Eso sí, has de ser consciente de que hay resultados y propiedades que cambian un poco según el criterio que uses.

[The Higgs Particle]

Re: Dudas sucesion de Fibonacci y numero aureo

Esto también se puede abarcar con matrices y autovalores, ¿no?

Si tenemos una matriz de evolución, $M$, entonces el autovalordominante es el $lim_{ n \to \infty} (\frac{a_{n+1}}{a_{n}})$. Vamos, el escalar de mayor valor absoluto que cumple que $|M - \lambda \cdot I| = 0$



Si tenemos la sucesión que viene descrita por: $a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$

Entonces: $\left(\begin{matrix}a_{n+1} \\a_ n \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}1 & 1 \\1 & 0\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} a_n \\a_{n-1}\end{matrix}\right)$

Siendo $M$ la matriz de evolución: $M = \left(\begin{matrix}1 & 1 \\1 & 0\end{matrix}\right)$

Por lo que podemos expresarlo como: $\left(\begin{matrix}a_{n+1} \\a_ n \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}1 & 1 \\1 & 0\end{matrix}\right)^n \cdot \left(\begin{matrix} a_1 \\a_0\end{matrix}\right)$ $= M^n \cdot \left(\begin{matrix} a_1 \\a_0\end{matrix}\right)$


En este caso, el autovalor dominante (he cogido el positivo) no es más que $\lambda_D = \phi = lim_{ n \to \infty} (\frac{a_{n+1}}{a_{n}})$

[Alriga]

Re: Dudas sucesion de Fibonacci y numero aureo

Apartado a)

$a_1=a_3-a_2$

$a_2=a_4-a_3$

.......................

$a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}$

$a_{n}=a_{n+2}-a_{n+1}$

Sumando los términos de la derecha y los de la izquierda:

$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{n-1}+a_n = -a_2 + a_{n+2}$

Y como $a_2 = 1$

$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{n-1}+a_n =a_{n+2}-1$

Iba a poner la demostración del apartado c) pero veo que ya la ha puesto Weip y es la misma que yo estaba haciendo, por lo tanto solo queda el apartado b)

Saludos.

- - - Actualizado - - -

*** Por cierto, como veis, en la definicion de sucesion de Fibonacci se dice en el enunciado que se construye por la recurrencia $a_0=a_1 = 1; a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$, pero en la wikipedia podemos encontrar lo siguiente $a_0=0 , a_1 = a_2= 1; a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$. Cual es la forma correcta ?

Nunca he visto construir la sucesión de Fibonacci con $a_0=1$ Está mal seguro. La definición correcta es:

$a_0=0$

$a_1=1$

$a_i=a_{i-1}+a_{i-2}$ para todo $i \geq 2$ Que es la que dice la Wikipedia.

Saludos.

[Weip]

Re: Dudas sucesion de Fibonacci y numero aureo

Nunca he visto construir la sucesión de Fibonacci con $a_0=1$ Está mal seguro. La definición correcta es:

$a_0=0$

$a_1=1$

$a_i=a_{i-1}+a_{i-2}$ para todo $i \geq 2$ Que es la que dice la Wikipedia.

Saludos.

Bueno que nunca lo hayas visto no significa que esté mal. Echando un vistazo rápido por internet: link 1, link 2, link 3. No son las mejores referencias del mundo pero ya buscaré más si quieres.

[zhazzu]

Re: Dudas sucesion de Fibonacci y numero aureo

Ahora la duda que tengo es la siguiente:

¿Lo único que está mal es el hecho de definir la sucesion de Fibonacci de esa forma (siendo la formulacion de los ejercicios correcta) o el hecho de que la definición esté mal también implica que la formulacion de los ejercicios sea incorrecta ?

No se si me explico.

[Alriga]

Re: Dudas sucesion de Fibonacci y numero aureo

Bueno que nunca lo hayas visto no significa que esté mal. Echando un vistazo rápido por internet: link 1, link 2, link 3. No son las mejores referencias del mundo pero ya buscaré más si quieres.

Gracias Weip, pero entiendo que los 3 links que enlazas siguen la misma definición clásica que yo he puesto

-En el primer link lo dice explícitamente $a_1=a_2=1$ No define $a_0$
-En los otros dos links se limita a decir que los dos primeros términos son 1 y 1. Y yo sobreentiendo que se refiere a $a_1$ y $a_2$

Observa que lo que plantea zazhu es que $a_0=1$ y eso es lo que digo que no he visto en ningún sitio, aunque está claro que alguien lo podría definir así, a mí me parece que queda feísimo. La única "gracia" de llamar al primer término $a_0$ en vez de llamarlo directamente $a_1$ , entiendo que es definirlo como $a_0=0$ pero es evidentemente sólo una opinión estética.

Saludos

[Weip]

Re: Dudas sucesion de Fibonacci y numero aureo

-En el primer link lo dice explícitamente $a_1=a_2=1$ No define $a_0$

Obviamente empezar a contar en el cero o en el uno da igual. En la sucesión hay el mismo número de términos y los mismos términos empieces por el número que empieces. De todas formas en el tercer link empieza por $a_0=1$.

-En los otros dos links se limita a decir que los dos primeros términos son 1 y 1. Y yo sobreentiendo que se refiere a $a_1$ y $a_2$

En el tercero empieza por $a_0=1$. E insisto que la numeración da igual. A los naturales les quitas el cero y todo queda perfecto. No hay problema.

No sé si me estoy explicando. Si quieres el primer término de la sucesión puede ser $a_{50}=1$ o también puedes numerar con números pares mayores que cero, empezando por $a_2=1$ y siguiendo con $a_4=1$, $a_6=2$ etc. Y en otros contextos es igual de legítimo empezar por $a_{0}=0$.

Ahora la duda que tengo es la siguiente:

¿Lo único que está mal es el hecho de definir la sucesion de Fibonacci de esa forma (siendo la formulacion de los ejercicios correcta) o el hecho de que la definición esté mal también implica que la formulacion de los ejercicios sea incorrecta ?

No se si me explico.

Tanto la definición como la formulación del ejercicio son correctos. Lo que pasa es que hay dos criterios para definir la sucesión dependiendo del contexto. Tu usa la del ejercicio porque si empiezas desde $a_0=0$ entonces el primer término de la sucesión $a_{n+1}/a_n$ no está bien definido. De hecho en el enunciado también habría otro denominador nulo. Y por eso empieza por $a_0=1$.

[zhazzu]

Re: Dudas sucesion de Fibonacci y numero aureo

Le pregunté al profesor y es como dice Weip. Se puede definir la recurrencia como nos convenga.

Por otra parte, en cuanto al apartado c), he entendido la demostración de Weip y la he completado bien pero aun me quedan dos dudas.

1. Al final de la pregunta, nos piden justificar que porque existe el limite y que es phi. Seria correcto decir que gracias a la demostración que hemos hecho, el limite es phi y eso ya implica que exista el limite ? O quizas esta respuesta es demasiado simple ?

2. No se supone que debemos demostrar c) basandonos en a), en b) y en las premisas ? (según dice el enunciado)



Luego, el apartado b) estoy intentandolo pero no se como sacarlo. Por inducción seria un buen metodo o podemos ahorrarnoslo y usar otro camino mas elemental ?

[Weip]

Re: Dudas sucesion de Fibonacci y numero aureo

Ahora que lo dices a partir del apartado b) todo es muy sencillo (los otros apartados no me los había leído jajaja). Si aplicas la regla del Sandwich en la desigualdad de b), tienes directamente que el límite existe y vale $\phi$. Y ya está. Los detalles te los dejo a ti, aunque es solo observar que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] tiende a cero.

Sobre la demostración de b) sinceramente no se me ocurre como hacerlo, lo siento.

[zhazzu]

Re: Dudas sucesion de Fibonacci y numero aureo

Lo que he pensado es lo siguiente:

Comenzamos sabiendo que $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ es positivo porque tanto el numerador como el denominador son positivos por ser numeros de Fibonacci.

Siendo asi, si aplicamos limites a ambos lados de la desigualdad, el limite cuando n tiende a infinito en el miembro derecho es 0. Luego, mirando la desigualdad, forzosamente el miembro izquierdo tienes que ser 0 o menor que 0. Pero no puede ser negativo porque el valor absoluto nunca da negativo. Por lo tanto el resultado del valor absoluto debe de ser 0. Cosa que nos lleva a pensar que el limite de $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ tiene que ser $\phi$. Gracias por la ayuda Weip. Voy a intentar sacar el apartado b). Si se me ocurren nuevas ideas lo comento.