Avanzado Transformada de Fourier general, espacios R^n

[alexpglez]

Hola, quería saber, si existe la transformada de Fourier en espacios de dimensión general R^n y no euclídeos. De hecho, estaba leyendo en la wikipedia inglesa: https://en.wikipedia.org/wiki/Fourie...m#On_Lp_spaces
Y tenía varias dudas.
1) Deducción
2) ¿Qué significa la fórmula del enlace?:

$$\lim_{R \to \infty} \int_{\vert x \vert \leq R}$$

Después he visto en el apartado otras convenciones, que escribe R^n también para funciones de cuadrado integrable.

3) ¿No tendría que intervenir el tensor métrico en la fórmula? (raiz de su determinante para formar el volumen invariante)
4) ¿Por qué diferencia L^1 de L^2 y L^p, es por si la suma y la integral no se pueden llevar a cabo?


Sobre 1), para L[-infinito, +infinito] recuerdo que era formando la suma de exponenciales complejas con frecuencias "discretizadas", integrando y cogiendo los coeficientes, después hacer el límite T-> infinito y ya. Estoy tratando de ver las similitudes para deducir la fórmula general, pero no entiendo muy bien cómo seguir:

$$\hat f(\omega)=\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-i\omega t}\frac{dt}{\sqrt{2\pi}}$$

$$f(t)=\sum_{\omega} \hat f(\omega)e^{i\omega t} \frac{\Delta \omega}{\sqrt{2\pi}}$$

Dónde: $\omega=n\frac{2\pi}{T} \;\;\; n \in Z$
Y: $\Delta \omega=\frac{2\pi}{T}$
Si hago que la omega pueda tomar números reales, o en otras palabras, la variación de omega --> 0, T va a tender a infinito, y viceversa...

Por otra parte creo que entiendo que el caso de varias variables, simplemente hay que hacer una transformada de fourier por cada variable y juntarlas todas en una:

$$f(x,y)=g(x)h(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat g(k_x)dk_x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat h(k_y)dk_y=$$

$$\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\hat g(k_x)\hat h(k_y)dk_xdk_y=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(k_x,k_y)d^2k$$

Y quería preguntar también una duda de carácter física. Para el caso de partículas libres (y no libres, supongo que también), suele escribirse la función como una transformada de fourier dada la función en el espacio momentum para t=0, así se obtiene su evolución temporal, pero ésto es porque energía y momentum están relacionados, E(p). Pero esto rompe la simetría y separa "espacio" y "tiempo". Sin embargo he leido alguna fórmula (ilustrativa, que no la explicaba el autor) también escribiendo una tranformada de fourier considerando el tiempo una dimensión más, además que creo que es útil para ecuaciones de ondas electromagnéticas. Lo que quiero preguntar, el por qué de todo esto, transformada de fourier sólo del espacio, del tiempo (no sé expresarme muy bien, espero que se entienda por cómo he detallado esta pregunta).

Gracias, saludos.

[Weip]

Re: Transformada de Fourier general, espacios R^n

Sobre el tema en si no lo sé, pero la pregunta 2) y 4) las puedo responder.

2) ¿Qué significa la fórmula del enlace?:

$$\lim_{R \to \infty} \int_{\vert x \vert \leq R}$$

Es una integral impropia.

Después he visto en el apartado otras convenciones, que escribe R^n también para funciones de cuadrado integrable.

No entiendo muy bien tu observación. Siempre has de integrar sobre un conjunto medible. En este caso $R^n$ por definición.

4) ¿Por qué diferencia L^1 de L^2 y L^p, es por si la suma y la integral no se pueden llevar a cabo?

Según dice el texto, sí.

[alexpglez]

Re: Transformada de Fourier general, espacios R^n

No entiendo muy bien tu observación. Siempre has de integrar sobre un conjunto medible. En este caso $R^n$ por definición.

Mi observación es que al principio escribe:

$$\hat f(\lambda)=\lim_{R \to \infty} \int_{\vert x \vert \leq R} f(x) e^{-i2\pi \lambda x} dx$$

Y luego:

$$\hat f(\lambda)=\frac{1}{(\sqrt{2 \pi})^n} \int_{R^n} f(x) e^{-i\lambda x} dx$$

Mi duda es, la integral impropia anterior, y la integral en R^n no son las mismas no¿? (El 2 pi ^(n/2) sólo es un factor constante para que quede simétrico y del hecho de cambiar la variable 2 pi \lambda a \lambda ' )

[Julián]

Re: Transformada de Fourier general, espacios R^n

Quizás lo que te ayude a entender es el fundamento y es que la transformada de fourrier es una relación funcional entre 1 función en un dominio y otra función en otro dominio.

$\dst g (f ) = {\int}_{- \infty}^{\infty} g(t) {e}^{- i 2 \pi f t} d t$

$\dst g(t) ={\int}_{- \infty}^{\infty} g(f) {e}^{i 2 \pi f t} df$

Usé f y no $\omega$ (es lo mismo pero en telecomunicaciones se suele usar la frecuenca ya que es más entendible pero en física cuántica se trabaja con $\omega$) pero no necesitamos poner el factor $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ y donde $g(t)$ es representada mediante una combinación linea de funciones ${e}^{2 \pi f t}$ donde $g(f)$ es el "peso" de cada exponencial compleja. Se ve como al ser una combinación lineal, cada exponencial compleja debe ser ortogonal a las demás. Es lo mismo que la combinación lineal que hacías para vectores, donde

$\dst \vec{v}= a \hat{\imath} + b\hat{\jmath} + c \hat{k} = \sum_{n = 1}^3 {c}_{n} \hat{c}$

solo que la transformada no es discreta por lo que es una integración y no una sumatoria y los pesos $g(f)$ son complejos en vez de escalares como a, b, c. La combinación lineal discreta es llamada serie de fourier

De la misma forma se define para una funcion de 2 variables:


$\dst g (f , k ) = {\int}_{- \infty}^{\infty} g(t,x) {e}^{- i 2 \pi f t- i 2 \pi k x} d t dx$ donde por ejemplo $k = \frac{1}{\lambda}$

$\dst g(t) ={\int}_{- \infty}^{\infty} g(f, k) {e}^{i 2 \pi f t+ i 2 \pi k x} df dk$

Y el caso general para ${R}^{n}$ ya es evidente

PD: de la misma forma que $g(f)={e}^{i 2 \pi f t}$ son ortogonales también lo son las funciones senoidales y cosenoidales y se pueden hacer transformadas con estas funciones pero eso ya está en desuso. Con respecto a tu última pregunta no te entendí.

Y quería preguntar también una duda de carácter física. Para el caso de partículas libres (y no libres, supongo que también), suele escribirse la función como una transformada de fourier dada la función en el espacio momentum para t=0, así se obtiene su evolución temporal, pero ésto es porque energía y momentum están relacionados, E(p). Pero esto rompe la simetría y separa "espacio" y "tiempo". Sin embargo he leido alguna fórmula (ilustrativa, que no la explicaba el autor) también escribiendo una tranformada de fourier considerando el tiempo una dimensión más, además que creo que es útil para ecuaciones de ondas electromagnéticas. Lo que quiero preguntar, el por qué de todo esto, transformada de fourier sólo del espacio, del tiempo (no sé expresarme muy bien, espero que se entienda por cómo he detallado esta pregunta).

Tanto en física cuántica como en el electromagnetismo es útil porque permite escribir una función de onda, como por ejemplo $g(x, t ) = {e}^{- x + {v}_{x}t}$ como combinación lineal de funciones ${e}^{i 2 \pi f t+ i 2 \pi k x}$ y donde $g(f, k)$ nos da la información cuanto de módulo y fase tiene cada exponencial compleja y por lo tanto vemos como se distribuye en la frecuencia y en el espacio la función de onda $g(x,t)$

[alexpglez]

Re: Transformada de Fourier general, espacios R^n

No, si la expresión y el significado lo entiendo. Por cierto, estoy viendo que me ha dado un lapsus importante y he omitido las exponenciales en mi primer mensaje. Pero sobre lo primero no era eso mi pregunta, puesto que R^n dimensiones euclídeas es fácil de generalizar. Lo que pregunto son para espacios no euclídeas, ejemplo polares, esféricas, y por tanto R^n signifique su dominio ejemplo, x [-inf, +inf], \varphi [0, 2 pi].

Sobre mi última pregunta, venía más a la diferencia de considerar las transformadas:

$$f(\vec x,t)=\frac{1}{(\sqrt{2 \pi})^3}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat f(k)e^{i(\vec k \cdot \vec x - \omega(k)t)}d^3 k$$

Viniendo por ejemplo la transformada de las condiciones iniciales y $\omega(k)$ que se obtiene dada la ecuación diferencial de la función, ejemplo función de ondas sin fuentes. La transformada inversa:

$$\hat f(\vec k)=\frac{1}{(\sqrt{2 \pi})^3}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(\vec x,0) e^{-i \vec k \cdot \vec x}d^3 x$$

Pero creo que sin embargo:

$$f(\vec x,t)=\frac{1}{(\sqrt{2 \pi})^4}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat f(\vec k,\omega)e^{i(\vec k \cdot \vec x - \omega t)}d^3 k d\omega$$

$$\hat f(\vec k,\omega)=\frac{1}{(\sqrt{2 \pi})^4}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(\vec x,t)e^{-i(\vec k \cdot \vec x - \omega t)}d^3x dt$$

Sea una tranformada más conveniente para casos en los que no se puede determinar $\omega(k)$, por ejemplo en el caso de las ecuaciones de onda con fuentes, en los que se relaciona transformada de la fuente con la transformada de la función de onda, la frecuencia y el vector de onda:

$$\partial^2_{xx} A(x,t)-\partial^2_{tt}A(x,t)=J(x,t)$$

Transformándola:

$$(-k^2+\omega^2) \hat A(k,\omega)=\hat J(k,\omega)$$

[Julián]

Re: Transformada de Fourier general, espacios R^n

Al transformar una expresión en cilíndricas o esféricas estás expresando dichas funciones como una combinación lineal de exponenciales complejas donde hay una transformación del espacio dado en cilíndricas, por ejemplo, al dominio de la frecuencia y longitudes de onda. Pero como la transformada es un funcional a cada función le corresponde su transformada, tal cual una función ya que es una función de funciones. Por lo tanto la transformada, es decir, lo que me refería por peso anteriormente son diferentes. Sigo sin entenderte la última pregunta, quizás alguien más lo capte. Pero si te refieres a una onda, por ejemplo un electrón encerado en un pozo de potencial, debes encontrar la función de onda como siempre y luego cuando transformes obtendrás dicha onda como una combinación lineal de exponenciales complejas ${e}^{i 2 \pi (ft + \hat{k}. \vec{x}}$ donde la transformada $g(f, k)$ te "informará como se distribuye la función en la frecuencia y en las longitudes de onda espaciales. Debido a que generalmente la soluciones de onda, como en este caso un electrón en un potencial no obtendrás una onda armónica como ${e}^{i 2 \pi (ft + \hat{k}. \vec{x}}$ sino más compleja y la cuestión es expresarla como combinaciones lineales de estas ondas armónicas ${e}^{i 2 \pi (ft + \hat{k}. \vec{x}}$. Ahora $g(f, k)$ son los iegevalores y si quieres conocer el momento cada exponencial en la combinación lineal aporta lo suyo.