Cálculo de integral doble

[ASCASO_atumadre]

Buenas tardes,

estoy practicando la resolución de integrales dobles y estoy un poco atascado en el siguiente problema. Me imagino que será una tontería, pero no entiendo muy bien cómo establecer los límites de las integrales tal y como me aportan el dominio de mi problema. El ejercicio dice asi:

Calcule el valor de la integral doble $\int \int_{D} 5y^2 dxdy$ en donde $D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 2(y-2)^2 +1 \leq x \leq (y-2)^2 + 2 \}$

Gracias de ante mano y un saludo al foro.

[sater]

¿No faltaría que te especifiquen entre qué valores varia $y$?

[ASCASO_atumadre]

El ejercicio viene así. A mi me despista un poco ese dominio. La verdad no se muy bien como atacarlo.

Gracias por tu comentario.

[sater]

Vale, creo que no hacen falta más datos, hay que intentar ver cómo es el recinto. Lo tengo oxidado, pero cuando saque un rato repaso y lo intento

[Al2000]

Calcula que las dos parábolas se intersecan en (3,1) y (3,3) y usa esos valores como los límites de "y".

[teclado]

Hola,

Como dice sater, tienes que visualizar el dominio. Si dibujas las gráficas

$x=2(y-2)^2+1$
$x=(y-2)^2+2$

Verás que se cortan en dos puntos, que dividen la recta horizontal en tres regiones, dos en las que

$2(y-2)^2+1>(y-2)^2+2$

Y otra en la que

$2(y-2)^2+1<(y-2)^2+2$

Que es la que nos interesa, ya que esta condición está expresada en la definición del dominio explícitamente. En cuanto a $x$, toma los valores entre estas gráficas (de nuevo atendiendo a la definición del dominio), de modo que tu dominio es el área que encierran estas curvas.

En vistas a integrar, comienza por la integral interior $\dst \int_{2(y-2)^2+1}^{(y-2)^2+2}dx$, y cuando hayas aplicado los límites integra el resultado en $y$. Para saber los límites de la segunda integral tendrás que resolver

$2(y-2)^2+1=(y-2)^2+2$

Que da 1 como límite inferior y 3 como límite superior.

Si tienes dificultades para visualizar las gráficas puedes seguir este enlace:

http://fooplot.com/?lang=es#W3sidHlw...AwMDAwMSJdfV0-

Es la primera vez que uso esa herramienta y no estoy seguro de que funcione a la perfección, pero a las malas puedes introducir ahí las parábolas.

Un cordial saludo.

[ASCASO_atumadre]

Muchas gracias por las respuestas. Me han sido de gran ayuda. Un saludo.

[Richard R Richard]

las dos funciones que acotan el área, se intersectan en (3,1) y (3,3) se puede ver que en el intervalo [1,3] de las $y$ no hay otras intersecciones y que ambas funciones tienen un mínimo para $y=2$ por que una función esta siempre por encima de la otra para la variable $x$



entonces la integral se resuelve haciendo

$\dst\int_1^3 \int_{2(y-2)^2+1}^{(y-2)^2+2} 5y^2 dxdy=\int_1^3 \left.5y^2 x \right\vert_{2(y-2)^2+1}^{(y-2)^2+2}dy=$


$\dst\int_1^3 5y^2 \left (1-(y-2)^2\right)dy=\int_1^3 \left(-5y^4+20y^3-15_y^2\right)dy=\left.-y^5+5y^4-5y^3\right\vert_1^3=-243+405-135+5-5+5=32$