Consulta sobre problema de cálculo tensorial.

[inakigarber]

Buenas noches;

Estudiando este hilo relativo a los procedimientos matemáticos de la relatividad general, me he encontrado con un problema que no sé como resolver, supongo que hay un error de escritura en el Blog, pero como no lo sé, me gustaría ver si puedo aclararlo. En la parte final del blog aparece el problema en cuestión cuando dice;

"PROBLEMA: Una cantidad T(p,q,r) es tal que bajo cierto sistema de coordenadas generalizadas $x^i$ se tiene lo siguiente:
$T(p,q,r) U^{qs}_r$ siendo tanto $U^{qs}_{t}$ como $v^{s}_{p}$ tensores. Demuestrese que también T(p,q,r) es un tensor."

Bien, el primer paso que da el problema me parece que está equivocado;
Entiendo que lo que se hace es transformar los tensores bajo un sistema de coordenadas $x^i$ que lo entiendo de la siguiente manera;

$T(p,q,r)$===>$\overline T(j,k,l)$
$U^{qs}_{t}$===>$\overline U^{kl}_{m}$

$v^{s}_{p}$===>$\overline v^{s}_{p}$

Observo que al pasar los tensores del sistema de referencia no barrado al barrado los índices cambian de (p,q,r) a (j,k,l) y de (q,s,t) a (k,l,m), en tanto que en el tensor v mantiene los subíndices en ambos sistemas de referencia, esto creo que es un error, pero me gustaría me lo pudierais confirmar.
La verdad es que me pierdo un poco en el razonamiento que sigue el autor, creo que en los siguientes pasos confunde al menos una vez los índices.
Saludos y gracias.

[inakigarber]

Buenas noches;

Creo que lo he encontrado, a ver si lo consigo.
Partimos de;
$T(p,q,r)U^{qs}_{t}=v^{s}_{p}$ $\overline T(jkl)\dfrac{\partial \overline x^k \partial \overline x^m \partial x^r}{\partial x^q \partial x^s \partial\overline x^l}U^{qs}_r=\dfrac{\partial \overline x^m \partial x^p}{\partial x^s \partial \overline x^j}T(pqr)U^{qs}_r$

$$\overline T(j,k,l)\overline U^{km}_{l}=\overline v^{m}_{j}$$

Por la definición de tensor tendremos;
$\overline U^{km}_{l}=\dfrac{\partial \overline x^k \partial \overline x^m \partial x^r}{\partial x^q \partial x^s \partial \overline x^l}U^{qs}_{r}$
$\overline v^m_j=\dfrac{\partial \overline x^m \partial x^p}{\partial x^s \partial \overline x^j}$

Sustituyendo en (1) tendremos;
$\overline T(jkl)\dfrac{\partial \overline x^k \partial \overline x^m \partial x^r}{\partial x^q \partial x^s \partial\overline x^l}U^{qs}_r=\dfrac{\partial \overline x^m \partial x^p}{\partial x^s \partial \overline x^j}v^s_p$
$\overline T(jkl)\dfrac{\partial \overline x^k\partial\overline x^m\partial x^r}{\partial x^q\partial x^s \partial\overline x^l}U^{qs}_r=\dfrac{\partial\overline x^m\partial x^p}{\partial x^s\partial\overline x^j}T(pqr)U^{qs}_r$
$\overline T(jkl)\dfrac{\partial\overline x^k\partial\overline x^m \partial x^r}{\partial x^q\partial x^s\partial\overline x^l}U^{qs}_r=\dfrac{\partial\overline x^m\partial x^p}{\partial x^s\partial\overline x^j}T(pqrs)U^{qs}_r=0$
Sacando factor común de $\dfrac{\partial\overline x^m}{\partial x^s}$ y de $U^{qs}_r$ obtengo;
$\overline T(jkl)\dfrac{\partial\overline x^k\partial x^r}{\partial x^q\partial\overline x^l}=\dfrac{\partial x^p}{\partial\overline x^j}T(pqr)$
Despejando me quedaría;
$\overline T(jkl)=\dfrac{\partial x^q\partial\overline x^l\partial x^p}{\partial\overline x^k\partial x^r\partial\overline x^j}T(pqr)$
Lo que me da como resultado;
$\overline T^l_{kj}=\dfrac{\partial x^q\partial\overline x^l \partial x^p}{\partial\overline x^k\partial x^r \partial\overline x^j}T^t_{qp}$
Con lo cual el objeto $T(pqrs)$ es un tensor.