Consulta sobre valided de ecuación tensorial y significado de los subindices;

[inakigarber]

Buenos días;

Tratando de retomar en la medida de lo posible las costumbres anteriores al confinamiento por coronavirus, hoy me siento con ganas de retomar el desarrollo matemático de la relatividad general. Pues bien, siguiendo adelante con este blog, en la parte final aparece la siguiente expresión.

$T^{\alpha \beta}=\dfrac{1}{4\pi}\left[F^{\alpha}_{\lambda} F^{\lambda \beta} +\dfrac{1}{4}g^{\alpha \beta}F_{\mu \lambda}F^{\mu \lambda}\right]$
Bien, aquí es donde me sale la duda, ya que en un párrafo anterior dice;
"Obsérvese que en ambos casos los índices repetidos de cada matriz deben estar contiguos el uno al otro (apareados). Esto es lo que nos proporciona la clave para convertir las operaciones tensoriales de sumatorias en operaciones matriciales".

Segun esto el último sumando de la expresión dentro de corchetes estaría equivocado, ya que los índices no está, contiguos, ¿No debiera ser así?

$T^{\alpha \beta}=\dfrac{1}{4\pi}\left[F^{\alpha}_{\lambda} F^{\lambda \beta} +\dfrac{1}{4}g^{\alpha \beta}F_{\mu \lambda}F^{\lambda \mu}\right]$

Por lo demás ambos índices se anulan por el convenio de sumación de Einstein y creo que el ejemplo que está queriendo poner el autor es claro en el sentido de que ambos extremos de la ecuación expresan a tensores iguales, en este caso un tensor contravariante de orden dos (una matriz) con subíndices iguales $\alpha ,\beta$, ya que los subíndices $\lambda\ \ y\ \ \mu$ también se anulan.

Me cabe una duda que creo que es conveniente aclarar, supongo que cuando se expresan matrices cuadradas en notación tensorial el primer subíndice representa la fila y el segundo la columna ¿Es así?

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

¿No debiera ser así?

$T^{\alpha \beta}=\dfrac{1}{4\pi}\left[F^{\alpha}_{\lambda} F^{\lambda \beta} +\dfrac{1}{4}g^{\alpha \beta}F_{\mu \lambda}F^{\lambda \mu}\right]$

Para mí llevas razón, el siguiente párrafo del blog justamente te explica eso.

Me cabe una duda que creo que es conveniente aclarar, supongo que cuando se expresan matrices cuadradas en notación tensorial el primer subíndice representa la fila y el segundo la columna ¿Es así?

Si, claro , así tambien lo entiendo,, si los tensores son simétricos no hay diferencia pues son iguales a su traspuesto, pero el tema es que el traspuesto de un antisimétrico el resultado de invertir filas por columnas te lleva a obtener el menos tensor.