Divulgación Cálculo fraccional

[alexpglez]

Hola, me gustaría preguntar qué aplicaciones teóricas y prácticas tiene el cálculo fraccional en la matemática y la física, y si es importante.
En wikipedia viene un poco que se basa en la curiosidad de definir operadores del tipo:

$$\frac{\partial^n}{\partial x^n} \;\;\;\; n \in R$$

Aunque parezca un poco extraño, por poner un ejemplo, la media derivada:

$$\frac{\partial^{\frac{1}{2}}}{\partial x^{\frac{1}{2}}}\frac{\partial^{\frac{1}{2}}}{\partial x^{\frac{1}{2}}} f(x)=\frac{\partial}{\partial x} f(x)=f'(x)$$

O en el caso más sencillo, la exponencial:

$$\frac{\partial^n e^{kx}}{\partial x^n}=k^n e^{kx}$$

En principio parece un simple juego matemático, bastante divertido e interesante por sí solo.

Imagino que se puede extender esto para cualquier n complejo.

[IsaacDL]

Re: Cálculo fraccional

Hola alexpglez, Weip ha hecho un fantástico artículo en este mismo foro. Te dejo el enlace a continuación:

http://forum.lawebdefisica.com/entri...oblema-de-Abel

Como bien puedes ver, al final puedes encontrar la respuesta a tu pregunta.

Saludos.

[JChornet]

Re: Cálculo fraccional

Hola.
Lo que estás comentando es el cálculo de derivadas. Yo te voy a hablar de la importancia en la física de las derivadas. También tienen una gran importancia matemática.
Imaginemos un problema con la velocidad. Tenemos un coche que avanza según la ecuación $x=10t^2$.

Normalmente, si queremos definir la velocidad, lo obtenemos haciendo $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{10(t_f^2-t_0^2)}{t_f-t_0}$ Pero esa es la Velocidad Media entre los dos instantes de tiempo $t_0$ y $t_f$.
Para medir la velocidad instantánea en un justo momento de tiempo, lo tenemos que hacer con la derivada. Para entendernos de forma simple, la derivada del espacio respecto el tiempo es que cantidad infinitesimal ("muy muy pequeña") de espacio que varía cuando pasa una cantidad infinitesimal de tiempo. Por eso se mide la velocidad instantánea, porque se mide la velocidad en dos instantes de tiempo infinitesimales (que es como decir que se mide en un único instante), por así decirlo. Por lo tanto: ¿cómo sería la velocidad instantánea?.
$v=\frac{dx}{dt}=2*10t=20t$ Para hacer las derivadas tienes que conocer las derivadas directas, y las propiedades y reglas de las derivadas, que nos permiten resolver derivadas más complejas, usando normalmente derivadas simples.
Por lo tanto vemos que en un instante determinado de tiempo la velocidad instantánea será $20t$ y como vemos es distinto a la velocidad media.

Si pensamos en la aceleración, vemos que la aceleración media es $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{10(t_f^2-t_0^2)}{(t_f-t_0)^2}$. Si calculamos la aceleración instantánea es $a=\frac{dv}{dt}=20\frac{m}{s^2}$ y como vemos, la aceleración instantánea es constante, no así como la media.

Por lo tanto las derivadas en física nos permiten hacer cálculos en mometos instantáneos. Cualquier cosa que se modifique una respecto a otra (espacio respecto al tiempo, por ejemplo) podemos hacer la modificación instantánea, obteniendo un resultado mucho más preciso para un solo instante de tiempo, y no entre dos instantes distintos.

El cálculo de derivadas es importantísimo en física (pocos artículos actuales, por no decir ninguno, no contienen derivadas o integrales) y además es muy divertido!