Primaria Entero, suma de enteros

[alexpglez]

Sé que la pregunta es muy simple o lo parece, pero cómo se demuestra que una suma de números enteros, da un entero¿?

No se me ocurre. Quizá, dado que 1 + 1=2 que es entero, podría intentar demostrar que adicionar 1 a un entero es entero y así dividir una suma en adicionar 1, pero no sé cómo...

[Weip]

Re: Entero, suma de enteros

Esa propiedad viene heredada del hecho de que la suma de dos naturales es natural. Los enteros se definen como $\mathbb{Z}= \left( \mathbb{N}\times \mathbb{N} \right)/R$ donde $R$ es la relación de equivalencia dada por:

$(a,b)R(c,d)\Leftrightarrow a+d=b+c$

Entonces definimos la suma de dos enteros $[a,b]$ y $[c,d]$ como $[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]$. Fíjate que como $a$, $b$, $c$, $d$ $\in \mathbb{N}$ entonces $a+c$ y $b+d$ pertencen a $\mathbb{N}$ de forma que $[a+c,b+d] \in \mathbb{Z}$. Esto sería el resumen pero no sé si estás familiarizado con las relaciones de equivalencia y los conjuntos cocientes. Si no me dices.

[Sheldoniano]

Re: Entero, suma de enteros

Por los axiomas de Peano (expandido a los enteros si quieres con $(-1)x=-x$, sucesor-anterior y blá blá), sumar n+m es el hacer el sucesor de n m veces, que, por axioma también será natural (entero).

Todo esto hay que escribirlo bien pero la argumentación es esa.

[Alriga]

Re: Entero, suma de enteros

... Por los axiomas de Peano expandidos a los enteros ...

Exacto, mira aquí en el punto 2.

INTRODUCCIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES MEDIANTE LOS AXIOMAS DE PEANO

Saludos.

[alexpglez]

Re: Entero, suma de enteros

Entonces lo de la suma de números naturales da un natural es un axioma¿? No se puede demostrar¿?

[Alriga]

Re: Entero, suma de enteros

Entonces lo de la suma de números naturales da un natural es un axioma¿? No se puede demostrar¿?

Si te fijas al definirla como una aplicación de NxN -->N a través de la "aplicación siguiente", la operación es INTERNA por definición.
(O la "demostración" sería, que como el siguiente de un natural es natural por axioma, la suma de dos naturales también ha de ser natural)
Saludos.

[Weip]

Re: Entero, suma de enteros

Entonces lo de la suma de números naturales da un natural es un axioma¿? No se puede demostrar¿?

Se puede demostrar si consideras la Aritmética de Peano como subteoría de ZFC o de NBG. Mañana la hago (si no lo hace antes otro usuario) pero antes debería saber qué sabes de teoría(s) de conjuntos y así adapto la demostración lo mejor que pueda.

[alexpglez]

Re: Entero, suma de enteros

Si no, no sé si algo me demostraran en primero de física. Es una curiosidad que tenía si es larga tampoco hace falta que la escribas, me quedo con saber que existe, aunque si me pudieras pasar algún enlace si que me gustaría. De teoría de conjuntos, conozco el tecnicismo, pero la verdad que poco he visto ya que poco lo he utilizado, o eso creo.
Una curiosidad, de qué siglo data la formalización de las operaciones "elementales", es decir, suma resta multiplicación, división, naturales, enteros, etc.¿?

[Sheldoniano]

Re: Entero, suma de enteros

Una curiosidad, de qué siglo data la formalización de las operaciones "elementales", es decir, suma resta multiplicación, división, naturales, enteros, etc.¿?

Te hablo de memoria pero el concepto de número es bastante reciente; y, con reciente, me re fiero a sigo XX o así con la axiomática de ZFC https://es.wikipedia.org/wiki/Axioma...rmelo-Fraenkel.

[Alriga]

Re: Entero, suma de enteros

... si me pudieras pasar algún enlace si que me gustaría ...

En la Web "El topo Lógico" hay una serie de 5 post + resumen final, de los Axiomas de Peano que está muy bien, este es el primer post:

Axiomas de Peano y consecuencias (1)

Además estoy seguro que el resto de la web El Topo Lógico también te gustará, saludos.

[Weip]

Re: Entero, suma de enteros

Si no, no sé si algo me demostraran en primero de física. Es una curiosidad que tenía si es larga tampoco hace falta que la escribas, me quedo con saber que existe, aunque si me pudieras pasar algún enlace si que me gustaría. De teoría de conjuntos, conozco el tecnicismo, pero la verdad que poco he visto ya que poco lo he utilizado, o eso creo.
Una curiosidad, de qué siglo data la formalización de las operaciones "elementales", es decir, suma resta multiplicación, división, naturales, enteros, etc.¿?

La demostración en sí es corta pero los preliminares es verdad que son muchos. Enlaces no te sabría decir, pero los links que te han puesto Sheldoniano y Alriga son un buen sitio para empezar a curiosear. Como te ha dicho Sheldoniano todo esto es de finales del siglo XIX y principios del siglo pasado pero no solo fue un período para formalizar las operaciones elementales sino también para fundamentar las matemáticas. Como resumen podrías quedarte con que de los axiomas de ZFC se deducen todas las matemáticas que conoces.

[Jose D. Escobedo]

Re: Entero, suma de enteros

Sé que la pregunta es muy simple o lo parece, pero cómo se demuestra que una suma de números enteros, da un entero¿?

No se me ocurre. Quizá, dado que 1 + 1=2 que es entero, podría intentar demostrar que adicionar 1 a un entero es entero y así dividir una suma en adicionar 1, pero no sé cómo...

Los enteros bajo la operacion de la suma forman un grupo y uno de los axiomas es "closure under +". Si logras contradecir ese axioma y llegas a una contradiction es mas que suficiente. Es decir tienes $p\Rightarrow q$, y vas a tratar que tratar [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Puedes iniciar asi: Sea [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , tales que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que $a+b=\dst\frac{s}{t }$.... y que elaborando un poco puedas despues llegar a una contradiccion.

Para hacer eso con los irracionales es un problema porque la definicion de los mismos es dudosa.

Saludos