Resolución de la igualdad

[Emeldir]

Hola a todos y todas!
Escribo esta vez por una duda matemàtica. Resulta que tengo una ecuación de este estilo:

$$t = \sqrt{\frac{2}{k}} f(t) ,$$

dónde tengo que

$$f(t) = \arcsin \bigg( \sqrt{1-\big( \mathbf{Re} \big[ \sum_j^N c_j \ee^{-i \frac{E_j}{\hbar}t}\big] \big)^2} \bigg) .$$

Me gustaría saber cómo puedo encontrar los valores de $k$ que verifican dicha igualdad, o inferir alguna conclusión sobre ella.
Muchas gracias por las sugerencias. Saludos!

[Abdulai]

Eso puede reescribirse como:

$\cos\left(\sqrt{\frac{k}{2}}\;t\right) = \mathbf{Re} \displaystyle\sum_{j}^{N}c_j \ee^{-i \frac{E_j}{\hbar}t}$

La única manera que halles una solución válida $\forall\;t$ es que la sumatoria tenga coeficientes tales que la parte real resulte un coseno.

[Emeldir]

Sí, ciertamente. De hecho, debería plantear bien el tema. Quiero determinar exactamente qué valor de $t$ verifica las siguientes condiciones:

$$k = \frac{2}{t^2}\bigg( \arcsin \bigg( \sqrt{1-\bigg| \big[ \sum_j^N c_j \ee^{-i \frac{E_j}{\hbar}t}\big] \bigg|^2} \bigg) \bigg)^2 ,$$

$$k = \frac{2}{t^2}\bigg( \arccos \bigg( \mathfrak{Re} \big[ \sum_j^N c_j \ee^{-i \frac{E_j}{\hbar}t}\big] \bigg) \bigg)^2 ,$$

$$0 = \mathfrak{Im} \big[ \sum_j^N c_j \ee^{-i \frac{E_j}{\hbar}t}\big] ,$$

con $c_j$ en el cuerpo de los complejos. Lo he resuelto numéricamente, de modo que iterando desde $t=0$, encuentro el valor de tiempo $\tau$ que verifica las tres condiciones a la vez y, de allí, obtengo el valor del parámetro $k$. No parece que tenga solución analítica, cierto? Pero se puede reescribir o compactar, o bien analizar de algún modo sobre el papel?
Gracias por vuestro tiempo.

[Abdulai]

Es lo mismo, son 3 ecuaciones pero se reducen a lo que escribí antes. Con el agregado que la sumatoria compleja debe ser real.
Y que antes querías calcular k y ahora t. Para t vas a tener en general infinitas soluciones.

[Emeldir]

Eso puede reescribirse como:

$\cos\left(\sqrt{\frac{k}{2}}\;t\right) = \mathbf{Re} \displaystyle\sum_{j}^{N}c_j \ee^{-i \frac{E_j}{\hbar}t}$

La única manera que halles una solución válida $\forall\;t$ es que la sumatoria tenga coeficientes tales que la parte real resulte un coseno.

Sí, entendí tu respuesta, pero quizá no me expresé bien. Los coeficientes $c_j$ están fijados, por eso enfaticé que dichas relaciones se verifican sólo para ciertas $t = \tau$, que es precisamente lo que busco. La resolución la he hecho numéricamente, pero mi pregunta era si con papel y lápiz puedo inferir alguna conclusión sobre los valores de $k$ y $\tau$.

[Abdulai]

Esa sumatoria compleja no es mas que una sumatoria de senos y cosenos y según la maldad de los valores y la cantidad de $c_j$ y $E_j$ puede resultar una función complejísima donde se haga difícil saber cuantas raíces hay en un intervalo. Además, solo de ellos depende el $\tau$ que te anule la parte imaginaria (luego calculas el $k$)

Mas que buscar atacarlo de manera general sería mejor para unos coeficientes concretos.

[carroza]

Hola. la expresión

$\displaystyle\sum_{j}^{N}c_j \ee^{-i \frac{E_j}{\hbar}t}$

tiene toda la pinta de venir del desarrollo de una función de onda no estacionaria, que se expresa en términos de ciertos coeficientes $c_j$ por autoestados del hamiltoniano de energía $E_j$ (el $\hbar$ te delata). Si ese es el caso, pueden usarse conceptos de la mecánica cuántica tales como que existe una fase global que no es observable.

Quizás puedas plantearnos el problema físico del que viene tu problema matemático, y podremos ayudar mejor.

Un saludo

[Emeldir]

Hola. la expresión

$\displaystyle\sum_{j}^{N}c_j \ee^{-i \frac{E_j}{\hbar}t}$

tiene toda la pinta de venir del desarrollo de una función de onda no estacionaria, que se expresa en términos de ciertos coeficientes $c_j$ por autoestados del hamiltoniano de energía $E_j$ (el $\hbar$ te delata). Si ese es el caso, pueden usarse conceptos de la mecánica cuántica tales como que existe una fase global que no es observable.

Quizás puedas plantearnos el problema físico del que viene tu problema matemático, y podremos ayudar mejor.

Un saludo

Hola Carroza, efectivamente el término que mencionas está relacionado con:

$$\langle \phi_f | \mathcal{U}_0(t) | \phi_i \rangle = \sum_j^N c_j \ee^{-i \frac{E_j}{\hbar}t} ,$$

dónde el bra representa el estado final y el ket el estado inicial. Ambos están escritos en la base de estados propia de $\mathcal{H}_0$. El estado inicial evoluciona bajo un hamiltoniano $\mathcal{H}(t) = \mathcal{H}_0 + \mathcal{H}_c (t)$, y $\mathcal{U}_0(t)$ es la evolución debida sólo al hamiltoniano $\mathcal{H}_0$. Resulta que el tiempo $\tau$ que verifica dichas igualdades representa el tiempo mínimo para ir de un estado a otro, y depende del parámetro $k$. Mi intención era ver, si al margen de hacer la resolución numérica, se podía inferir algo sobre esos dos valores de manera analítica.
Muchas gracias.
Saludos!

Nota: los coeficientes vienen definidos por el producto de los coeficientes del estado final y inicial, es decir $c_j = b_j^\ast a_j$.

[carroza]

Hola.

Yo diría que, en mecánica cuántica, el tiempo mínimo para ir de un estado a otro no es una magnitud que esté bien definida. En particular, no hay certidumbre de que un estado cuántico $| \phi_i \rangle$, se convertirá en otro estado $| \phi_f \rangle$, con probabilidad 1, cuando transcurra un tiempo $t=\tau$.

Otra cosa diferente es que quieras obtener el tiempo $t= \tau$ para el cual la probabilidad de que el estado $| \phi_i \rangle$, se convierta en otro estado $| \phi_f \rangle$, es máxima. En ese caso, tomarías $P(t) = | \langle \phi_f | \mathcal{U}(t) | \phi_i \rangle |^2<br />$, donde $\mathcal{U}(t)$ es el operador de evolución del hamiltoniano completo, e implantarías la condición $d P(t)/dt = 0$.

Saludos

[Emeldir]

Hola, se trata de una generalización del problema de Zermelo clásico en versión cuántica. Las ecuaciones que debe satisfacer este tiempo son las que he planteado (hay publicaciones al respecto, dónde se pretende minimizar el tiempo de viaje entre dos estados). Mi duda se centraba en el aspecto de las ecuaciones, si había algun modo de ver alguna relación sin tener que resolverlas numéricamente. Creo que he pensado un truco para verlo, pero muchas gracias a ambos por responder.
Saludos!