Base de una topología

[cristianoceli]

Hola tengo dudas con este ejercicio

Sea $(x, \ge)$ un conjunto ordenado. Demuestre que los subconjuntos $M_x= \{ y \in X | x \ge y \}$ son a medida que $x \in X$ varia una base para una topología.

Entiendo que una base para una topología es la unión arbitraria de los elementos de la topología pero no se me ocurre como demostrar esto.


Saludos

[Weip]

Hola cristianoceli.

Entiendo que una base para una topología es la unión arbitraria de los elementos de la topología pero no se me ocurre como demostrar esto.

Eso es verdad, pero no te ayuda a comprobar si la colección de subconjuntos es una base o no. Para determinar si es una base has de probar dos cosas:

-Todo elemento $x\in X$ está contenido en algún subconjunto de la colección.
-Si tienes un elemento $x \in X$ en la intersección de dos subconjuntos de la colección entonces existe un tercer subconjunto de la colección contenido en la intersección que contiene al elemento $x$.

Cambié un poco la notación y llamé al conjunto $X$ para evitar confusiones. Para comprobar estas condiciones conviene que utilices la notación de intervalos para no liarte. Hazte algún dibujo también pensando en como se haría si $X$ fuese la recta de los reales por ejemplo, que es un caso particular que ya conoces. Ten en cuenta también los casos extremos en los que $X$ tiene algún elemento máximo o mínimo: no cambiaran mucho la cosa pero los has de tratar a parte. Sabiendo esto intentalo y sino sale paso a explicarlo con más detalle.

[cristianoceli]

Hola cristianoceli.

Eso es verdad, pero no te ayuda a comprobar si la colección de subconjuntos es una base o no. Para determinar si es una base has de probar dos cosas:

-Todo elemento $x\in X$ está contenido en algún subconjunto de la colección.
-Si tienes un elemento $x \in X$ en la intersección de dos subconjuntos de la colección entonces existe un tercer subconjunto de la colección contenido en la intersección que contiene al elemento $x$.

Cambié un poco la notación y llamé al conjunto $X$ para evitar confusiones. Para comprobar estas condiciones conviene que utilices la notación de intervalos para no liarte. Hazte algún dibujo también pensando en como se haría si $X$ fuese la recta de los reales por ejemplo, que es un caso particular que ya conoces. Ten en cuenta también los casos extremos en los que $X$ tiene algún elemento máximo o mínimo: no cambiaran mucho la cosa pero los has de tratar a parte. Sabiendo esto intentalo y sino sale paso a explicarlo con más detalle.

Gracias por tu respuesta pero estoy bastante confundido en varias cosas primero creo no entender muy bien la parte 2 del teorema y me confunde cuando dices que utilice la notación de intervalos para no liarme ¿como lo utilizo? Perdon si la pregunta e smuy trivial

Saludos

[Weip]

Gracias por tu respuesta pero estoy bastante confundido en varias cosas primero creo no entender muy bien la parte 2 del teorema y me confunde cuando dices que utilice la notación de intervalos para no liarme ¿como lo utilizo? Perdon si la pregunta e smuy trivial

Saludos

Lo pongo en símbolos. Voy a denotar los elementos de la supuesta base mediante $B$s. Has de demostrar:

-Para todo $x \in X$ existe $B$ tal que $x \in B$.
-Si $x \in B_1 \cap B_2$ entonces existe $B_3$ tal que $x\in B_3$ y $B_3 \subset B_1 \cap B_2$.

Es una definición que debe estar en los apuntes que tenéis en clase. La traducción de lo que acabo de poner es lo que dije en mi mensaje anterior.

Por otro lado cuando digo que uses notación de intervalos me refiero a que no trabajes poniendo desigualdades estilo $y \leq x \leq z$, sino que escribas $x\in [y,z]$. Quizás en las clases teoría te hablaron de esto cuando hacíais la topología del orden.

Entonces, empecemos por el primer punto, si te doy un $x$ cualquiera, ¿qué $M_z$ (qué $B$) contiene a $x$? Hay muchos pero con que des con uno ya está. Dibujate una recta donde cada punto sea un elemento de $X$ e intenta responder dibujando el $M_z$, que es un intervalo. Este $z$ es abstracto, pero lo importante es que será mayor o menor que $x$, ver qué relación tienen te lo dejo a ti. Analiza también los casos en los que $X$ tenga un elemento máximo y un elemento mínimo aparte.

[cristianoceli]

Lo pongo en símbolos. Voy a denotar los elementos de la supuesta base mediante $B$s. Has de demostrar:

-Para todo $x \in X$ existe $B$ tal que $x \in B$.
-Si $x \in B_1 \cap B_2$ entonces existe $B_3$ tal que $x\in B_3$ y $B_3 \subset B_1 \cap B_2$.

Es una definición que debe estar en los apuntes que tenéis en clase. La traducción de lo que acabo de poner es lo que dije en mi mensaje anterior.

Por otro lado cuando digo que uses notación de intervalos me refiero a que no trabajes poniendo desigualdades estilo $y \leq x \leq z$, sino que escribas $x\in [y,z]$. Quizás en las clases teoría te hablaron de esto cuando hacíais la topología del orden.

Entonces, empecemos por el primer punto, si te doy un $x$ cualquiera, ¿qué $M_z$ (qué $B$) contiene a $x$? Hay muchos pero con que des con uno ya está. Dibujate una recta donde cada punto sea un elemento de $X$ e intenta responder dibujando el $M_z$, que es un intervalo. Este $z$ es abstracto, pero lo importante es que será mayor o menor que $x$, ver qué relación tienen te lo dejo a ti. Analiza también los casos en los que $X$ tenga un elemento máximo y un elemento mínimo aparte.

Muy claro muchas gracias. Efectivamente el teorema esta en el libro que estoy estudiando.

Saludos

[alexpglez]

Hola, por dar una explicación intuitiva del teorema que mecionas.

Si unos subconjuntos son base de una topología significa 2 cosas:
1) La topología es la mínima generada por los subconjuntos.
2) Para esa topología, los subconjuntos forman una base: todo abierto es unión arbitraria de elementos de la base, en particular los elementos de la base son abiertos.
Como la topología se forma realizando intersecciones finitas, uniones arbitrarias, contiene al vacío y al total. Esto implica:
a) Los subconjuntos recubren el total.
b) Las intersecciones de dos subconjuntos tienen que ser abiertos, y por tanto todo punto de la intersección debe estar en un abierto contenido en la intersección.
Estas son exactamente las 2 condiones que escribió Weip. El teorema te dice que estas dos condiciones son suficientes (además de necesarias), es bastante intuitivo entenderlo, y relativamente sencillo de demostrar.


Un saludo