Secundaria Números enteros

[alexpglez]

¿Cómo se definen los números enteros?

Estoy buscando en un libro Álgebra Moderna, de Frank Ayres, pero no encuentro una definición clara a partir de la cual pueda deducir las propiedades de la suma, resta, etc. Estoy intentando escribir por mi cuenta y llegar a ciertas conclusiones, pero me encuentro con lo siguiente:
Los números enteros se extrapolan a partir de los naturales por no encontrar solución a la siguiente ecuación: $x+k=0 \;\; \forall k \in N-\{0\}$
Si defino:

$$Z^-=\{x : \; \forall k \in N, \; x+k=0 \}$$

$$Z=N \cup Z^-$$

Me encuentro que a la hora de buscar operaciones como la suma, tengo que definir antes ciertas propiedades generales, o distinguir casos NxN, NxZ-, Z-xN y Z-xZ- y convertirlos como sumas o restas de enteros y así aplicar las propiedades derivadas de los axiomas de Peano.
Pero ninguna de las dos maneras encuentro muy lógica.

Por otra parte, veo que en el libro que iba leyendo define un número entero a partir de un par de números naturales,

$$m+x=n, \;\; x=n-m$$

, sin embargo busca que cumpla con ciertas propiedades de los naturales, no intenta de alguna forma buscar y derivar esas propiedades.

[Weip]

Re: Números enteros

En este hilo te di una definición en mi primera intervención. Ahí también te definí la suma de enteros pero no el producto: Si a, b, c, d son naturales, $[a,b]\cdot [c,d]=[ac+bd,ad+bc]$. Fíjate que los productos de dentro de la clase de equivalencia son productos entre naturales. A partir de aquí puedes empezar a demostrar propiedades. Por ejemplo puedes ver que el elemento neutro del producto es $1=[1,0]$.

[alexpglez]

Re: Números enteros

Si, eso estaba leyendo. Creo que ya entiendo la lógica, se trata de hacer una definición de una clase (basada en los naturales) para salir del paso, y hacer que la clase cumpla las propiedades de los naturales, luego extrapolar esa clase para cuando ya no defina los "números naturales" y ver que propiedades tiene. Es así¿?

Me refiero a, esa clase, si:

$$[r,0] \; \Leftrightarrow \; r$$

Se define la operación suma tal que:

$$[a,b] \; \Leftrightarrow \; x \;\;\;\; [c,d] \; \Leftrightarrow \; y \;\;\; [a,b]+[c,d] \; \Leftrightarrow \; x+y \;\;\; \forall \; x,y \in N$$

Y se extrapola para el resto de las clases tales que: $[a,b] \; \Leftrightarrow \; x \;\;\; x \not\in N$

Y así analizar finalmente las propiedades de cierta operación:

$$x+y \;\;\; x,y \not\in N$$

[Weip]

Re: Números enteros

Y así analizar finalmente las propiedades de cierta operación:

$$x+y \;\;\; x,y \not\in N$$

Cuidado, al final se obtiene una operación para todos los enteros, en particular sirve también cuando $x, y\in \mathbb{N}$.

Otra cosa, en este tipo de temas es importante usar los símbolos correctamente. Cosas como $[a,b]\Leftrightarrow x$ no tienen sentido por sí solas. En este caso concreto supongo que quieres decir $[a,b]=x$.

Se define la operación suma tal que:

$$[a,b] \; \Leftrightarrow \; x \;\;\;\; [c,d] \; \Leftrightarrow \; y \;\;\; [a,b]+[c,d] \; \Leftrightarrow \; x+y \;\;\; \forall \; x,y \in N$$

Lo que has escrito es una tautología. Defines $[a,b]+[b,c]=x+y$ pero es que también has definido $x=[a,b]$ y $y=[b,c]$ previamente. No sé si me explico.

En todo caso la idea te ha quedado clara así que bien.

[alexpglez]

Re: Números enteros

En mi libro viene indicado con flechas, es un poco dudoso, porque las utiliza para designar isomorfismos entre dos elementos de dos conjuntos, pero en este caso definió la clase de equivalencia:

$$[a]=\{ x: x \in S, \; xRa \}$$

Quizá lo que quiere con la flecha, es que existe un isomorfismo entre un cierto elemento con todos los elementos de la clase.

Por otra parte, cuando define una operación binaria para la clase, dice:
Sea $S=\{a,b,c...\}$ un conjunto en el cual se ha definido una operación $\times$ y sea $R$ una relación de equivalencia que produce en $S$ la partición del conjunto en clases de equivalencia $E=\{[a],[b],[c]....\}$. Si se define en $E$ una operación binaria denotada por $\otimes$.

$$[a] \otimes [b]=[a \times b]$$

Entonces, la operación queda deinida si, dados cualquiera $p,q \in [a]$ y $s,t \in [b]$

$$[a \times b]=[p \times s]=[q \times t]$$

Es decir que:

$$[a] \otimes [b]=[p] \otimes [s]=[q] \otimes [t]$$

Entonces, más o menos es lo que escribi en mi anterior mensaje lo que entiendo de toda esta notación.

[Weip]

Re: Números enteros

En mi libro viene indicado con flechas, es un poco dudoso, porque las utiliza para designar isomorfismos entre dos elementos de dos conjuntos

Pues vaya notación más confusa. En este mismo contexto se usa el mismo tipo de flecha para los si y solo si. Pero bueno para definir los enteros no necesitas los isomorfismos.

[alexpglez]

Re: Números enteros

Espera, quizá la confusión sea que utiliza el libro flechas simples $\longleftrightarrow$, entonces yo lo tengo incorrecto.

Y bueno, en el caso concreto de los entero, si usaba isomorfismos entre dos espacios:

$$L=NxN$$

Y, con la relación de equivalencia $\backsim$, definida por:

$$\forall (a,b), \, (c,d) \in L \;\;\; (a,b)\backsim (c,d) \; \Leftrightarrow \; a+d=c+b$$

Se define:

$$[a,b]=\{(x,y): \; (x,y) \in L \; (x,y) \backsim (a,b) \}$$

Y así acaba definiendo la partición de L:

$$A=\{[a,b],[c,d],[e,f]....\}$$

Que coincide con los Z (si se definen las respectivas propiedades de la suma, etc. con los elementos de A).

Luego hay un isomorfismo entre los elementos de Z y A.

[Weip]

Re: Números enteros

Espera, quizá la confusión sea que utiliza el libro flechas simples $\longleftrightarrow$, entonces yo lo tengo incorrecto.

Me lo imaginaba, esa flecha sí se suele usar con los isomorfismos. Mira que he pensado en preguntarte qué tipo de flecha era la que estaba en tu libro pero lo he dejado.

Y bueno, en el caso concreto de los entero, si usaba isomorfismos entre dos espacios:

$$L=NxN$$

Y, con la relación de equivalencia $\backsim$, definida por:

$$\forall (a,b), \, (c,d) \in L \;\;\; (a,b)\backsim (c,d) \; \Leftrightarrow \; a+d=c+b$$

Se define:

$$[a,b]=\{(x,y): \; (x,y) \in L \; (x,y) \backsim (a,b) \}$$

Y así acaba definiendo la partición de L:

$$A=\{[a,b],[c,d],[e,f]....\}$$

Que coincide con los Z (si se definen las respectivas propiedades de la suma, etc. con los elementos de A).

Luego hay un isomorfismo entre los elementos de Z y A.

Ah vale pues sí, está bien. Yo directamente he definido los enteros como el conjunto $A$. Aunque entonces ¿cómo te define los enteros tu libro? Porque para montar un isomorfismo necesitas tener definidos los dos conjuntos involucrados.

[alexpglez]

Re: Números enteros

Si, perdona. Los define:

$$Z^+=\{[a,b]: [a,b] \in A \; a \geq b \}$$

$$Z^-=\{[a,b]: [a,b] \in A \; a<b \}$$

$$Z=Z^+ \cup Z^-$$

Por lo que te veo comentar, opinas que da varias vueltas. Que con $Z=NxN / \backsim$ hubiese bastado.
La notación $/ R$, no la había visto, quiere decir que ya define directamente la relación R para el conjunto Z¿? y junto con las clases de equivalencia [a,b] como el conjunto de par de valores que cumple la relación de equivalencia (a,b) R (c,d)¿?

[Weip]

Re: Números enteros

La notación $/ R$, no la había visto, quiere decir que ya define directamente la relación R para el conjunto Z¿? y junto con las clases de equivalencia [a,b] como el conjunto de par de valores que cumple la relación de equivalencia (a,b) R (c,d)¿?

Esa notación significa que hago el cociente por la relación de equivalencia $R$ (lo que tu llamas $\backsim$). El resultado es el conjunto de clases de equivalencia, cuyos elementos vendrían a ser "sacos" donde vas clasificando los elementos del conjunto original mediante el criterio $R$. En palabras llanas, si tengo un conjunto de pelotas puedo considerar el criterio de que dos pelotas son equivalentes si y solo sí son del mismo color. El conjunto cociente estará formado por las clases de equivalencia "Rojo", "Azul", "Verde"...

[alexpglez]

Re: Números enteros

Esa notación significa que hago el cociente por la relación de equivalencia $R$ (lo que tu llamas $\backsim$). El resultado es el conjunto de clases de equivalencia, cuyos elementos vendrían a ser "sacos" donde vas clasificando los elementos del conjunto original mediante el criterio $R$. En palabras llanas, si tengo un conjunto de pelotas puedo considerar el criterio de que dos pelotas son equivalentes si y solo sí son del mismo color. El conjunto cociente estará formado por las clases de equivalencia "Rojo", "Azul", "Verde"...

Asi pues dado un conjunto U y R una relación de identidad para los dlementos de U. El conjunto definido:

$$A=U/R$$

Es igual a otro conjunto B definido por:

$$[a_i] = \{ x: x \in U, xRa_i \}$$

$$B = \cup _i [a_i]$$

$$A=B$$

Y así quedaría definido entonces la simbología /R¿?

[Weip]

Re: Números enteros

$$[a_i] = \{ x: x \in A, xRa_i \}$$

$x\in U$ porque la relación de equivalencia la defines en $U$.

$$B = \cup _i [a_i]$$

Tal como has definido ese conjunto, $B=U$.

La definición sería la siguiente: $U/R=\left\{ [a]: a\in U\right\}$.

[alexpglez]

Re: Números enteros

$x\in U$ porque la relación de equivalencia la defines en $U$.

Perdón, si queria escribir $x \in U$, no me fijé que lo había escrito mal.

Tal como has definido ese conjunto, $B=U$.

La definición sería la siguiente: $U/R=\left\{ [a]: a\in U\right\}$.

Es exactamente lo mismo que escribí en mi anterior mensaje no¿?

Por otra parte como $[a]$ genera una partición en $U$:

$$U=U/R$$

¿?

PD: edito mi anterior mensaje

[Weip]

Re: Números enteros

Por otra parte como $[a]$ genera una partición en $U$:

$$U=U/R$$

¿?

No mira, dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos (es el axioma de extensionalidad). Siguiendo con el ejemplo que puse de estar por casa, no es lo mismo una pelota que su color. El primero sería un elemento de $U$ y el segundo un elemento de $U/R$. No sé si me explico.

[alexpglez]

Re: Números enteros

Ya pero es que hay un teorema que dice que una relación R genera una partición sobre U tal que la unión de todas las clases de equivalencias es igual a U.