Secundaria ¿Son correctas estas inducciones sobre la potenciación?

[alexpglez]

Manejamos de números el $0$, el $0^*=1$ como neutro de la multiplicación y la operación siguiente: $n^*$.

Supongamos que basados en las propiedades de la multiplicación y la suma para enteros, definimos la potenciación:

$$P(a,0)=0^*$$

$$P(a,n^*)=P(a,n)a$$

1) Demostrar que la potenciación es única:
Supongamos dos funciones potencia $f(n)=P_1(a,n)$ y $g(n)=P_2(a,n)$
---- Para el 0, ambas coinciden, aplicando la propiedad 1, $f(0)=P_1(a,0)=0^*$, $g(0)=0^*$, $f(0)=g(0)$
---- Para el n^*:

$$f(n^*)=af(n)=ag(n)=g(n^*)$$

Donde hemos aplicado la propiedad 2, y la hipótesis de inducción $f(n)=g(n)$
Luego finalmente $P_1(a,n)=P_2(a,n)$ encontramos que existe una única operación potenciación.
Llamemos:

$$P(a,n)=a^n$$

2) Demostrar la propiedad $(ab)^n=a^n b^n$
----- Para el 0:

$$(ab)^0=0^*$$

$$a^0 b^0=0^* 0^*=0^*$$

Luego: $(ab)^0=a^0 b^0$
Donde hemos aplicado la propiedad 1, y la propiedad del elemento neutro de la multiplicación.

----- Para n^*:

$$(ab)^{n^*}=(ab)^n(ab)=(a^n a)(b^n b)=a^{n^*} b^{n^*}$$

Donde hemos utilizado la propiedad 2, la hipótesis de inducción $(ab)^n=a^n b^n$, la propiedad asociativa de la multiplicación y otra vez la propiedad 2.
Así pues hemos llegado a que se cumple para $n^*$


¿Son correctas estas inducciones?

Un saludo, gracias.

[Weip]

Re: ¿Son correctas estas inducciones sobre la potenciación?

Sí, son correctas. Un pequeño comentario, fíjate que tal como te definen la potenciación, $0^0=1$, pero hay que tener cuidado en que contexto se aplica. Aquí es uno pero por ejemplo como ya sabes en el cálculo de límites $0^0$ es una indeterminación. Se usa la misma notación en ambos casos para referirse a dos cosas diferentes.

[alexpglez]

Re: ¿Son correctas estas inducciones sobre la potenciación?

Sí, son correctas. Un pequeño comentario, fíjate que tal como te definen la potenciación, $0^0=1$, pero hay que tener cuidado en que contexto se aplica. Aquí es uno pero por ejemplo como ya sabes en el cálculo de límites $0^0$ es una indeterminación. Se usa la misma notación en ambos casos para referirse a dos cosas diferentes.

Estaba probando por mi cuenta a definir la potenciación para naturales y sacar sus propiedades, y ni se me pasó tal detalle. De todas formas ahora que lo añades, no encuentro como solucionar ese problema a partir de tal definición, es decir, como ver que tal definición es incompatible con a=0 y n=0.

[Weip]

Re: ¿Son correctas estas inducciones sobre la potenciación?

Estaba probando por mi cuenta a definir la potenciación para naturales y sacar sus propiedades, y ni se me pasó tal detalle. De todas formas ahora que lo añades, no encuentro como solucionar ese problema a partir de tal definición, es decir, como ver que tal definición es incompatible con a=0 y n=0.

¿En serio? Pues has hecho bien, no es ningún problema, en todos los libros se define la potenciación de tal forma que $0^0=1$. De hecho esta expresión no es solo un mero cálculo si no que hay conceptos detrás. No me explayaré mucho pero el caso es que $0^0$ corresponde con el número de funciones que puedes encontrar entre el conjunto vacío y él mismo. Si lo piensas, solo hay una función así. De ahí que el resultado sea $1$. Si lo quieres "arreglar", solo tienes que exigir que $a$ no sea cero. Pero lo dicho, ya haces bien, $0^0$ es $1$ en los naturales. Eso sí, como te he dicho antes, no descontextualices este resultado.

[Alriga]

Re: ¿Son correctas estas inducciones sobre la potenciación?

Sobre el tema $0^0=1$ aconsejo leer:

¿Cuánto vale cero elevado a cero? ¿Y cero factorial?

Y sobre todo: 0^0 (tres partes y comentarios) Aconsejo empezar a leer por la parte inferior de la página, (post más antiguo) e ir subiendo.

Saludos

[alexpglez]

Re: ¿Son correctas estas inducciones sobre la potenciación?

Lo que no entiendo es lo siguiente, suponiendo que la operación es válida para $a=0$ y por tanto $0^n \in N$ y $0^0 \in N$:
$0^n=0 \forall n \in N$, ya que a mi me sale que $0^{n^*}=00^{n}=0 \forall n \in N$ es decir que con el axioma de que no existe $\not\exists n^* = 0$ tengo que $0^n \forall n \in N-\{0\}$
Quizá si, la relación se cumpla en los naturales $0^0=1$, pero no se cumpla ya para los enteros ni reales, puesto que da lugar a contradicción en estos conjuntos.

Curioso detalle.


PD: si Weip jaja he intentado llegar aplicando lo que ya me pasó Alriga de los axiomas de Peano, donde definía las operaciones suma y multiplicación para n=0 y la relación entre la operación sobre n^* y sobre n. Lo cierto es que va siendo más fácil inducir teniendo ya las herramientas de sumar y multiplicar. Y por tanto cada vez me gusta más!