Determinar una fórmula

[crishchess]

Hola estoy estudiando sumatorios y me piden de terminar una fórmula para $\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{(-1)^kk}$ no se me ocurre como hacerlo.


Saludos

[Alriga]

$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k \cdot k$

"2n" como valor superior del índice del sumatorio significa que siempre "paramos" la suma en un número par. Si haces la siguiente tabla:

k	(-1)^k · k	Suma
1	-1	-1
2	2	1
3	-3	-2
4	4	2
5	-5	-3
6	6	3
7	-7	-4
8	8	4
9	-9	-5
10	10	5
11	-11	-6
12	12	6
13	-13	-7
14	14	7
15	-15	-8
16	16	8
17	-17	-9
18	18	9

Se observa que cuando "paramos" en un número par "k=2n", el resultado de la suma es la mitad de "2n" Si paramos por ejemplo en k=2n=6 la suma es 3. Si paramos en k=2n=18 la suma es 9. Por lo tanto:

$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k \cdot k=n$

Saludos.

[Richard R Richard]

El resultado que te da Alriga es correcto una forma de resolverlo es darse cuenta que

$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k \cdot k=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{(2i-1)} \cdot (2i-1)+(-1)^{(2i)} \cdot (2i)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{(2i)}\left(\dfrac{(2i-1)}{-1}+2i\right)<br />$

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(-1)^{(2i)}(1-\cancel{2i}+\cancel{2i})=\sum_{i=1}^{n}\left[(-1)^2\right]^i\cdot 1=\sum_{i=1}^{n}1^i=\sum_{i=1}^{n}1=n$

[crishchess]

El resultado que te da Alriga es correcto una forma de resolverlo es darse cuenta que

$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k \cdot k=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{(2i-1)} \cdot (2i-1)+(-1)^{(2i)} \cdot (2i)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{(2i)}\left(\dfrac{(2i-1)}{-1}+2i\right)<br />$

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(-1)^{(2i)}(1-\cancel{2i}+\cancel{2i})=\sum_{i=1}^{n}\left[(-1)^2\right]^i\cdot 1=\sum_{i=1}^{n}1^i=\sum_{i=1}^{n}1=n$

Richard gracias por responder.
No logro darme cuenta ¿Por que el sumatorio cambia de $2n$ a $n$



Saludos

[Richard R Richard]

El sumatorio de 2n toma todos los números entre 1 y 2n...los de exponente impar resultan negativos entonces los resta y los de exponente par son positivos y los suma.
TU ya saber cómo generar los exponente pares si i va de 1 a n todos los pares hasta 2n los tienes con 2i .Los números pares son la mitad de los números hasta 2n osea n.
y los impares los tienes del mismo modo con 2i-1 es la otra mitad de números en 2n ,osea n números impares.

Por eso cree un sumatorio solo de 1 a n, donde los sumándos cuentan con las formulas para crear los exponentes impares y pares con un único n sumando dos numeros consecutivos por eso solo se necesitan n sumándos la mitad que en el primer sumatoria.