Demostración suma de cuadrados y recíprocos

[crishchess]

Hola, no consigo demostrar lo siguiente:

Si $m$ es el producto de $n$ números en progresión geométrica, $p$ su suma y $q$ la suma de sus recíprocos, demuestre que:

$m^2=(\displaystyle\frac{p}{q})^n$

Muchas gracias.

Un saludo

[Abdulai]

$n$ números en progresión geométrica: $a,a^2,a^3,a^4,\cdots,a^n$

Su producto: $m = a\,a^2a^3a^4\cdots a^n = a^{1+2+3+\cdots+n}= a^{\frac{1}{2}n(n+1)}$

Su suma: $p= a+a^2+a^3+a^4+\cdots+a^n = a\dfrac{a^n-1}{a-1}$

Su suma de inversos: $q = a^{-1}+a^{-2}+a^{-3}+a^{-4}+\cdots+a^{-n} = a^{-1}\dfrac{a^{-n}-1}{a^{-1}-1} = a^{-n}\dfrac{a^n-1}{a-1}$


Entonces:
$m^2 = a^{n(n+1)}$
$\dfrac{p}{q} = a^{n+1}\;\;\rightarrow\;\;\left(\dfrac{p}{q}\right)^n = a^{(n+1)n}$

Son iguales nomás....

[crishchess]

$n$ números en progresión geométrica: $a,a^2,a^3,a^4,\cdots,a^n$

Su producto: $m = a\,a^2a^3a^4\cdots a^n = a^{1+2+3+\cdots+n}= a^{\frac{1}{2}n(n+1)}$

Su suma: $p= a+a^2+a^3+a^4+\cdots+a^n = a\dfrac{a^n-1}{a-1}$

Su suma de inversos: $q = a^{-1}+a^{-2}+a^{-3}+a^{-4}+\cdots+a^{-n} = a^{-1}\dfrac{a^{-n}-1}{a^{-1}-1} = a^{-n}\dfrac{a^n-1}{a-1}$


Entonces:
$m^2 = a^{n(n+1)}$
$\dfrac{p}{q} = a^{n+1}\;\;\rightarrow\;\;\left(\dfrac{p}{q}\right)^n = a^{(n+1)n}$

Son iguales nomás....

Entiendo muchas gracias solo no consigo entender ¿Por que $a^{-1}\dfrac{a^{-n}-1}{a^{-1}-1} = a^{-n}\dfrac{a^n-1}{a-1}$ ?


Saludos

[Abdulai]

$a^{-1}\dfrac{1}{a^{-1}-1} = \dfrac{1}{1-a}\quad;\quad a^{-n}-1=a^{-n}(1-a^n)$

$\therefore\quad a^{-1}\dfrac{a^{-n}-1}{a^{-1}-1} = a^{-n} \dfrac{1-a^n}{1-a}=a^{-n}\dfrac{a^n-1}{a-1}$

Saludos.