Secundaria No termino de entender el enunciado

[janokoev]

Veréis, estoy practicando matemáticas para la olimpiada (la del año pasado me salió fatal) y he llegado a un enunciado que no estoy seguro de si lo estoy entendiendo bien o no.

Este dice: "Demuestra que el producto de cualquier número de factores, sumas de dos cuadrados, es a su vez suma de dos cuadrados".

Yo, según el enunciado, entiendo que quieren que demuestre esto:

$n=({a}^{2}+{b}^{2})({c}^{2}+{d}^{2})={e}^{2}+{f}^{2}$

Es decir, que un número cuyos factores son sumas de dos cuadrados es también una suma de dos cuadrados. ¿Es esto o voy muy desencaminado?

[Alriga]

Re: No termino de entender el enunciado

"Demuestra que el producto de cualquier número de factores, sumas de dos cuadrados, es a su vez suma de dos cuadrados".

Yo creo que el enunciado está mal, que sobraría el "dos" y que lo que debería decir es "Demuestra que el producto de cualquier número de factores, sumas de dos cuadrados, es a su vez suma de cuadrados".

Es decir, que demuestres que $(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)(a_3^2+b_3^2) \ ... \ (a_n^2+b_n^2)=X_1^2+X_2^2+ \ ... \ +X_m^2$

Saludos.

[Al2000]

Re: No termino de entender el enunciado

Pero eso es trivial, amigo Alriga, lo interesante es si el "dos" no está sobrando, como en:

$\dst (1^2 + 1^2)(1^2 + 1^2) = 0^2 + 2^2$

$\dst (1^2 + 1^2)(1^2 + 2^2) = 1^2 + 3^2$

$\dst (1^2 + 2^2)(1^2 + 2^2) = 3^2 + 4^2$

and so on... ¿Será cierto en general?

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: No termino de entender el enunciado

probando $(2^2+3^2)(2^2+3^2)=12^2+5^2$ ha despertado mi curiosidad....

eureka!!!

si $e=bc+ad$ y $f=bd-ac$

$e^2=b^2c^2+2abcd+a^2d^2$

$f^2=b^2d^2-2abcd+a^2c^2$

$e^2+f^2=b^2c^2+\overbrace{2abcd}+a^2d^2+b^2d^2-\overbrace{2abcd}+a^2c^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

[Alriga]

Re: No termino de entender el enunciado

... Pero eso es trivial, amigo Alriga, lo interesante es si el "dos" no está sobrando, ...

Tienes razón Al, si se quita el "2" la demostración es demasiado fácil.

si $e=bc+ad$ y $f=bd-ac$

$e^2=b^2c^2+2abcd+a^2d^2$

$f^2=b^2d^2-2abcd+a^2c^2$

$e^2+f^2=b^2c^2+\overbrace{2abcd}+a^2d^2+b^2d^2-\overbrace{2abcd}+a^2c^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

Hasta aquí también llegué, pero al intentarlo con 3 factores, es decir intenté demostrar que:

$(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)(a_3^2+b_3^2)=X_1^2+X_2^2$

No solo no lo conseguí, es que me pareció que no se podía, por eso aventuré la hipótesis,

... Yo creo que el enunciado está mal, ...

de que podía haber un error en el enunciado, aunque cierto es que no estoy seguro.

Interesante problema, a ver si aparecen por aquí nuestros compañeros matemáticos de foro y nos ayudan.

Saludos.

[Weip]

Re: No termino de entender el enunciado

Lo mejor es proceder por inducción. El caso $n=2$ (dos factores) parece ser que ya lo habéis resuelto por arriba. Luego suponemos que si $a_i$ son factores suma de dos cuadrados entonces $\dst\prod_{n = 2}^k a_i$ es suma de dos cuadrados. Una propiedad conocida del productorio es $\dst\prod_{n = 2}^{k+1} a_i=a_{k+1}\dst\prod_{n = 2}^k a_i$. Ahora es cuestión de aplicar la hipótesis de inducción y el caso $n=2$.

Espero haber ayudado.

[Alriga]

Re: No termino de entender el enunciado

Lo mejor es proceder por inducción....

Ya veo.

Partiendo de la incuestionable validez de la demostración de Richard de que:

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=e^2+f^2$$

Si ahora multiplicamos ambos lados de la igualdad por un nuevo factor $g^2+h^2$

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)(g^2+h^2)=(e^2+f^2)(g^2+h^2)$$

Vemos que el segundo miembro de la ecuación (2) es formalmente igual al primer miembro de la ecuación (1). Por lo que volviendo a aplicar la demostración de Richard:

$(e^2+f^2)(g^2+h^2)=j^2+k^2$

Y por lo tanto

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)(f^2+h^2)=j^2+k^2$$

Y así sucesivamente podemos añadir tantos factores como queramos. Por lo tanto en general se cumple que: $\forall \ a_1, b_1, a_2, b_2, ... , a_n, b_n \in \mathbb Z, \exists X_1 \ and \ X_2 \in \mathbb Z \ t. q.$

$$\boxed{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)(a_3^2+b_3^2) \ ... \ (a_n^2+b_n^2)=X_1^2+X_2^2}$$

Perdón por haberte engañado sin querer, janokoev

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: No termino de entender el enunciado

supongamos el caso n=3

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)(g^2+h^2)=$

aplicando el resultado que obtuve antes


$(a^2+b^2)(c^2+d^2)(g^2+h^2)=(e^2+f^2)(g^2+h^2)=i^2+j^2$


con $i=eg+fh$ y con $j=fg-eh$ o $j=eh-fg$


cada vez que agregas un nuevo término este se puede reemplazar o una nueva suma de cuadrados, así que por inducción se puede demostrar.

(no importa si $i$ o$j$son mayores o menores que cero, pues su cuadrado da lo mismo).

Edito : hemos contestado lo mismo al mismo tiempo saludos.

[janokoev]

Re: No termino de entender el enunciado

El caso es que en el libro que estoy usando ese ejercicio estaba en el apartado de inducción, así que supongo que será lo que decís. Muchas gracias a todos, ahora hay una interesante demostración matemática en este hilo.

[Weip]

Re: No termino de entender el enunciado

El caso es que en el libro que estoy usando ese ejercicio estaba en el apartado de inducción, así que supongo que será lo que decís. Muchas gracias a todos, ahora hay una interesante demostración matemática en este hilo.

Ten en cuenta que la demostración no está acabada, acuérdate de llenar los detalles y escribirlo bien, aquí solo te hemos indicado el camino que has de seguir. Lo digo por si acaso. ¡Suerte con el estudio!