Otras carreras Funcion periodica

[Narnia]

Hola me gustaría que me ayudarás. Necesito hallar el periodo de h(x+P)= sen(x+P), partiendo de la definición de una función periódica

[teclado]

Hola, y bienvenido al foro.

Convendría que plantearas lo que has intentado para poder ayudarte mejor. Sin embargo, me ha gustado el problema, ya que la periodicidad de las funciones trigonométricas es algo que siempre había dado por supuesto, pero nunca me había planteado una demostración. De modo que ahí va mi propuesta. Seguro que hay otras formas de demostrar la periodicidad del seno, pero ciñéndonos al enunciado,

deberemos partir de

$$<br /> h(x) = h(x+P),\ x\in\mathbb{R}<br />$$

Esto es, teniendo en cuenta la relación del seno del ángulo suma:

$<br /> \begin{aligned}<br /> \sin(x) &= \sin(x+P),\ x\in\mathbb{R} \\<br /> \sin(x) &= \sin(x)\cos(P) + \cos(x)\sin(P) \\<br /> \sin(x)(1 - \cos(P)) &= \cos(x)\sin(P)<br /> \end{aligned}<br />$

Como hemos dado por hecho que $P$ es una constante que no depende de $x$ al suponer que la función $h$ es periódica, se puede escribir la última ecuación de las anteriores de la siguiente manera:

$<br /> \alpha\sin(x) = \beta\cos(x)<br />$

Con $\alpha=1-\cos(P)$ y $\beta=\sin(P)$ constantes.

Sin embargo sabemos que las funciones $\sin$ y $\cos$ no son, ni mucho menos, proporcionales (la relación anterior se debe dar para todos los valores de $x$). La única posibilidad es que tanto $\alpha$ como $\beta$ sean 0.

Esto es

$<br /> \left .<br /> \begin{aligned}<br /> \sin(P) &= 0 \\<br /> 1-\cos(P) &= 0<br /> \end{aligned}<br /> \right \}<br />$

O lo que es lo mismo,

$<br /> \left .<br /> \begin{aligned}<br /> \sin(P) &= 0 \\<br /> \cos(P) &= 1<br /> \end{aligned}<br /> \right \}<br />$

En este punto debemos conocer algunas propiedades básicas de las funciones $\sin$ y $\cos$. En particular, que $\sin(P)=0$ para $P=n\pi$, y que $\cos(P)=1$ para $P=2n\pi$, con $n\in\mathbb{Z}$. Las dos condiciones se darán juntas cuando

$P=2n\pi,\ n\in\mathbb{Z}$

Estos son los valores de $P$ que cumplen la ecuación (1). El periodo será el valor positivo más pequeño, es decir, $P=2\pi$.

Un saludo.

[Richard R Richard]

Hola, comparto lo que teclado te dice, viéndolo yo de un modo mas simplista, una función periódica es la que repetitivamente entrega el mismo valor imagen, para valores de una variable a intervalos regulares.
Las funciones sinusoidales, tienen la particularidad que tienen un pico o máximo local a intervalos regulares y con su mínimo sucede lo mismo en otro punto del intervalo.
En una función sinusoidal , la distancia entre dos picos o crestas consecutivas difiere en $2\pi$ en el argumento, por lo que a este valor le puedes asignar el nombre de Periodo.

Si a $P$ lo llamas periodo entonces $h(x)=h(x+P)=\sin(x)=\sin(x+P)$, y para todo valor $x$ será cierto si y solo si $P=n2\pi$ siendo $n=1$ o $n=-1$ para dos puntos a distancia de un periodo en el dominio de la variable x