Otras carreras Demostración unión de todos los conjuntos de la clase universal = clase universal

[alexpglez]

Hola, estaba buscando demostrar la igualdad:

$$\cup U=U$$

Siendo $U$ la clase universal.
Sé que: $\cup U=\{x|\exists y (y\in U \wedge x \in y )\}=\{x|\exists y x \in y \}$ puesto que $\forall y y \in U$, pero no sé demostrar que $\exists y x \in y$. Por otra parte también se que $\cup U \subset U$.

Se me ha ocurrido quizá demostrar $\forall x \exists y x \in y$ usando el axioma par, sin embargo en los apuntes (página 7 del libro, 17 del total) que estoy siguiendo, el axioma par aparece después de este resultado.
¿Cómo lo demuestro pues sin usar el axioma par, o es imposible?

Gracias y saludos.

[Weip]

Re: Demostración unión de todos los conjuntos de la clase universal = clase universal

Hola, prueba esto: para todo $x\in U$ tenemos que $\mathcal{P}(x) \in U$ y $x \in \mathcal{P}(x)$ de forma que tomando $y=\mathcal{P}(x)$ obtenemos $\exists y\in U, x\in y$, es decir, $x\in \bigcup U$, con lo que $U\subset \bigcup U$.

[alexpglez]

Re: Demostración unión de todos los conjuntos de la clase universal = clase universal

Perdona Weip, con P(x) a qué te refieres? A las partes de x?
Quizá debería ser más explícito y decir que en los apuntes se parte de los axiomas de extensionabilidad y comprensión para clases, y axioma del conjunto vacío. No introduce ninguno posterior, sin embargo tampoco señala como se demuestra lo que pretendo demostrar.

Gracias, saludos.

[Weip]

Re: Demostración unión de todos los conjuntos de la clase universal = clase universal

Perdona Weip, con P(x) a qué te refieres? A las partes de x?

Sí.

Quizá debería ser más explícito y decir que en los apuntes se parte de los axiomas de extensionabilidad y comprensión para clases, y axioma del conjunto vacío. No introduce ninguno posterior, sin embargo tampoco señala como se demuestra lo que pretendo demostrar.

Gracias, saludos.

Entonces no sé. Seguro que es fácil pero ahora mismo no caigo.

¡Saludos!