Otras carreras Demostración función biyectiva tiene inversa biyectiva

[alexpglez]

Hola, no encuentro cómo hacer tal demostración:

$$F:A\longrightarrow B \; biyectiva \vdash F^{-1}:B\longrightarrow A \; biyectiva$$

Tengo la idea, que F sea inyectiva implica que la inversa es únivoca, y viceversa, además si F es suprayectiva entonces está bien definida la inversa. Pero no me aclaro para demostrar semi-formalmente esto.

Gracias, saludos.

[Weip]

Re: Demostración función biyectiva tiene inversa biyectiva

Buenas. La clave es que la inversa de $F^{-1}$ es $F$ por lo que $F^{-1}$ es biyectiva. Ahora me gustaría decir una cosa sobre el resto de tu mensaje. Que la función sea inyectiva implica la existencia de inversa por la izquierda y que la función sea suprayectiva implica la existencia de inversa por la derecha. Es sólo que podemos hablar de inversa a secas con la combinación de ambas propiedades. Que la inversa sea única y que esté bien definida se sigue de las dos propiedades en conjunto.

[alexpglez]

Re: Demostración función biyectiva tiene inversa biyectiva

Si, si eso veo en el teorema siguiente, de todas formas el que pido creo que no se demuestra por éste.

Estoy hablando de clases que son funciones, todas tienen inversas, lo único que la inversa no es una función puesto que no es unívoca. Voy a verlo con más detenimiento, y pregunto más en concreto.

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PD: https://www.uv.es/ivorra/Libros/Conjuntos2.pdf página 12-22 del libro son los apuntes que estoy siguiendo.

[Weip]

Re: Demostración función biyectiva tiene inversa biyectiva

Si, si eso veo en el teorema siguiente, de todas formas el que pido creo que no se demuestra por éste.

Estoy hablando de clases que son funciones, todas tienen inversas, lo único que la inversa no es una función puesto que no es unívoca. Voy a verlo con más detenimiento, y pregunto más en concreto.

Vale perdona, ahora he ido al texto que estás siguiendo. Retiro lo de tu comentario. Por lo que he visto el texto te dice lo mismo que te dije yo ayer, que la inversa de la inversa es $F$ ($(F^{-1})^{-1}=F$) así que supongo que no te ayudé mucho. La historia está en que una función es biyectiva si y solo si tiene inversa y ésta es una función (esto último lo redundé en el comentario de ayer pero dado el contexto tienes razón en que es importante aclararlo porque la inversa no tiene porqué ser una función a priori). Aplicando este resultado $F$ tiene función inversa que se denota por $F^{-1}$. A través de la simetría en las definiciones tienes que $(F^{-1})^{-1}=F$ por lo que, al tener $F^{-1}$ función inversa, es biyectiva. Esto completa la demostración. Espero que esta vez haya sido más acertado.

[alexpglez]

Re: Demostración función biyectiva tiene inversa biyectiva

Ya, Weip, el caso es que también habría que demostrar que si F es biyectiva, F^{-1} es una función.

Por otra parte, lo he demostrado paso a paso, me ha ocupado 25 líneas con una demostración previa que me ha ocupado 20 líneas. Es por ello que como ando algo ocupado no lo voy a subir, sin embargo lo puedo explicar con palabras.

Si $F:A\longrightarrow B$ es biyectiva, entonces, F es una función (F sólo contiene pares ordenados, F es unívoca), DF=A y RF ( B, F es inyectiva (F(x)=F(y) implica x=y), F es suprayectiva ($\forall y \in B \exists x \in A F(x)=y$), en otras palabras:

$$\forall z \in F \exists xy z=(x,y) \wedge \forall xyz ((x,y) \in F \wedge (x,z) \in F \rightarrow y=z) \wedge DF=A \wedge$$

$$\wedge RF \subset B \wedge \forall y \in B \exists x \in A F(x)=y \wedge \forall xy \in A (F(x)=F(y) \rightarrow x=y)$$

Y junto a estos teoremas:

$$F:A\longrightarrow B \vdash \forall xy \in A (F(x)=F(y) \rightarrow x=y) \leftrightarrow \forall xyz ((x,y) \in F \wedge (z,y) \in F \rightarrow x=z)$$

$$F:A \longrightarrow B \vdash \forall y \in B \exists x \in A F(x)=y \leftrightarrow B\subset RF$$

Entonces tenemos que:

$$\forall z \in F \exists xy z=(x,y) \wedge \forall xyz ((x,y) \in F \wedge (x,z) \in F \rightarrow y=z) \wedge DF=A \wedge$$

$$\wedge RF= B \wedge \forall xyz ((x,y) \in F \wedge (z,y) \in F \rightarrow x=z)$$

Hay que comprobar que esto implica que:

$$\forall z \in F^{-1} \exists xy z=(x,y) \wedge \forall xyz ((x,y) \in F^{-1} \wedge (x,z) \in F^{-1} \rightarrow y=z) \wedge DF^{-1}=B \wedge$$

$$\wedge RF^{-1}= A \wedge \forall xyz ((x,y) \in F^{-1} \wedge (z,y) \in F^{-1} \rightarrow x=z)$$

Y así poder concluir que, utilizando los anteriores teoremas:

$$F^{-1}:B \longrightarrow A$$

[Weip]

Re: Demostración función biyectiva tiene inversa biyectiva

Ya, Weip, el caso es que también habría que demostrar que si F es biyectiva, F^{-1} es una función.

Sea $b$ un elemento cualquiera de $B$. Por ser $F$ inyectiva $F^{-1}(b)$ tiene como mucho un elemento y por ser $F$ suprayectiva $F^{-1}(b)$ tiene como mínimo un elemento. Juntando ambas propiedades $F^{-1}(b)$ tiene un solo elemento por lo que por definición $F^{-1}$ es una función.