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Derivada covariante

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  • Derivada covariante

    ¿Es lo mismo el operador derivada con el índice abajo aplicado a un vector contra variante (índice arriba) que el operador derivada con el índice abajo aplicado a un vector covariante (indice abajo)? Se que podemos igualar ambas expresiones usando la métrica, entonces. ¿Es lo mismo?




    Yo antes pensaba que el operador derivada con el indice abajo aplicado a un vector contra variante (índice arriba) era derivar solo las componentes del vector y el operador derivada con el índice arriba aplicado a un covector (índice abajo) era derivar solo las componentes. Pero no es así, correcto?

  • #2
    Hola! , pero

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    • #3
      Gracias.

      Si eso quería saber si .

      De la misma forma, ¿puedo expresar un vector (componentes del vector) como o ? ¿o necesariamente es la componente del vector y es la componente del espacio dual?

      Pregunto esto porque muchas veces en una ecuación se ve índices abajo, índices arriba y eso es solo para poder aplicar la sumatoria de Einstein, correcto? Por que sé que si quiero obtener el módulo de un vector.



      De la misma forma, si quiero expresar un vector con sus bases puedo hacerlo de estas 2 maneras, correcto?

      ¿Es correcto esto?
      Última edición por leo_ro; 15/02/2024, 03:11:32.

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      • #4
        Hola! y son los componentes del vector en el mismo espacio, pero en diferentes sistemas de coordenadas.

        Si, índices abajo y índices arriba son solo para poder aplicar la sumatoria.

        Vector x se puede representar como una combinación lineal de vectores : (1).

        Porque en suma (1) componentes son contra variantes, aunque son covariantes al mismo tiempo? Vamos a ver. Por ejemplo, tenemos una transformacion lineal:

        , ().

        Entonces =>

        Las coordenadas se convierten mediante la transformación inversa(T). Por eso se llaman contra variantes. Coordenadas contra variantes y covariantes existen en el mismo espacio.

        Comentario


        • #5
          Muchas gracias por la respuesta. Generalemento cuando veo una ecuación con notación de Einstein, no puedo identificar que términos son covariantes y contravariantes. Porque generalmente se toma que el subíndice arriba es contravariante y el subíndice abajo es covariante pero también podría ser tomado al revez. Por ejemplo, en la siguiente ecuación



          ¿Como sé si es contravariante y la derivada es covariante? Quizás me respondas que la derivada siempre va a ser covariante porque ante un cambio de sist. de referencia va a cambiar con las bases pero tomé solo esa ecuación como ejemplo.

          Comentario


          • #6
            El ecuacion es lo mismo que . La derivada peude ser covariante o contravariante. La suma de Einstein - es lo que importa.

            Comentario

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