Derivada covariante

[leo_ro]

¿Es lo mismo el operador derivada con el índice abajo aplicado a un vector contra variante (índice arriba) que el operador derivada con el índice abajo aplicado a un vector covariante (indice abajo)? Se que podemos igualar ambas expresiones usando la métrica, entonces. ¿Es lo mismo?

${\partial}_{u} {x}^{v} = {g}_{uv} {\partial}^{u} {x}_{v}$


Yo antes pensaba que el operador derivada con el indice abajo aplicado a un vector contra variante (índice arriba) era derivar solo las componentes del vector y el operador derivada con el índice arriba aplicado a un covector (índice abajo) era derivar solo las componentes. Pero no es así, correcto?

[IvanZ]

Hola! $g_{uv}\partial^ux_v=\partial_vx_v\ne\partial_ux^v$, pero $\partial_vx^v=\partial^vx_v$

[leo_ro]

Gracias.

Si eso quería saber si ${\partial}_{u} {x}^{u} = {\partial}^{u} {x}_{u}$.

De la misma forma, ¿puedo expresar un vector (componentes del vector) como ${x}^{u}$ o ${x}_{u}$? ¿o necesariamente ${x}^{u}$ es la componente del vector y ${x}_{u}$ es la componente del espacio dual?

Pregunto esto porque muchas veces en una ecuación se ve índices abajo, índices arriba y eso es solo para poder aplicar la sumatoria de Einstein, correcto? Por que sé que si quiero obtener el módulo de un vector.

$\sqrt {{x}^{u} {x}^{u}} = \sqrt { {g}_{uv}{x}^{u} {x}^{u}} = \sqrt { {x}_{v} {x}^{u}}$

De la misma forma, si quiero expresar un vector con sus bases puedo hacerlo de estas 2 maneras, correcto?

$x = {x}^{u} {e}_{j} = {x}_{u} {e}^{j}$ ¿Es correcto esto?

[IvanZ]

Hola! $x_u$ y $x^u$ son los componentes del vector en el mismo espacio, pero en diferentes sistemas de coordenadas.

Si, índices abajo y índices arriba son solo para poder aplicar la sumatoria.

Vector x se puede representar como una combinación lineal de vectores $e_j$: $x=x^ue_u=x_ue^u$ (1).

Porque en suma (1) componentes $x^u$ son contra variantes, aunque $e_u$ son covariantes al mismo tiempo? Vamos a ver. Por ejemplo, tenemos una transformacion lineal:

$e'_i=S_i^je_j$, $e_j=T^i_je'_i$ ($T=S^{-1}$).

Entonces $x=x'^je'_j=x^je_j=x^jT^i_je'_i$ =>$x'^i=T^i_jx^j$

Las coordenadas $x^j$ se convierten mediante la transformación inversa(T). Por eso se llaman contra variantes. Coordenadas contra variantes y covariantes existen en el mismo espacio.

[leo_ro]

Muchas gracias por la respuesta. Generalemento cuando veo una ecuación con notación de Einstein, no puedo identificar que términos son covariantes y contravariantes. Porque generalmente se toma que el subíndice arriba es contravariante y el subíndice abajo es covariante pero también podría ser tomado al revez. Por ejemplo, en la siguiente ecuación

$(i \gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi(x) = 0$

¿Como sé si $\gamma^\mu$ es contravariante y la derivada $\partial_\mu$ es covariante? Quizás me respondas que la derivada siempre va a ser covariante porque ante un cambio de sist. de referencia va a cambiar con las bases pero tomé solo esa ecuación como ejemplo.

[IvanZ]

El ecuacion $(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi=0$ es lo mismo que $(i\gamma_{\mu}\partial^{\mu}-m)\psi=0$. La derivada peude ser covariante o contravariante. La suma de Einstein - es lo que importa.
$\gamma_{\mu}\partial^{\mu}=\gamma_{\mu}g^{\mu\nu}\partial_{\nu}=\gamma^{\nu}\partial_{\nu}=\gamma^{\mu}\partial_{\mu}$