Ejercicio función cuadrática

[crishchess]

Hola tengo dudas con este ejercicio necesito saber si lo he planteado bien


Cuando cierto fármaco se toma oralmente, su concentración (en mg/lt)en el torrente sanguíneo del paciente, después de t minutos viene dada por una función del tipo: $C(t) = at-bt^2$ donde a y b son constantes.

Encuentre el valor de las constantes a y b si se sabe que la concentración a los 80 minutos es de 3,52 mg/lt y que la máxima concentración se alcanza a los 150 minutos.

Este sistema he planteado:

$80a-80^2b=3,52$ (1)
$\displaystyle \frac{a}{2b} = 150$ (2)

¿Es correcto el planteamiento?

[Alriga]

...Cuando cierto fármaco se toma oralmente, su concentración (en mg/lt)en el torrente sanguíneo del paciente, después de t minutos viene dada por una función del tipo: $C(t) = at-bt^2$ donde a y b son constantes.

Encuentre el valor de las constantes a y b si se sabe que la concentración a los 80 minutos es de 3,52 mg/lt y que la máxima concentración se alcanza a los 150 minutos...

Es correcto, la primera ecuación:

$$3.52=80a-80^2b$$

En el máximo la derivada será cero y de ahí saldrá la segunda ecuación:

$C'(t)=a-2b t$

$$0=a-2b150$$

Después de resolver el sistema para calcular a y b, no te olvides añadir las unidades, si no me equivoco al resolver, sale:

$a=0.06 \ \dfrac{mg}{lit \cdot min}$

$b=0.0002 \ \dfrac{mg}{lit \cdot min^2}$

Saludos.

[crishchess]

$C'(t)=a-2b t$

$$0=a-2b150$$

Saludos.

Muchas gracias, pero como llegó a esos dos resultados sin derivar ya que no lo puedo ocupar en este ejercicio. Solo se que una parábola de la forma $f(x) = ax^2+bx+c$ alcanza su máximo en el vértice es decir en el punto $(\displaystyle\frac{-b}{2a} , f(\displaystyle\frac{-b}{2a}))$

Saludos

[Richard R Richard]

Solo se que una parábola de la forma $f(x) = Ax^2+Bx+C$ alcanza su máximo en el vértice es decir en el punto $(\displaystyle\frac{-B}{2A} , f(\displaystyle\frac{-B}{2A}))$

Hola crishchess por lo general eso se enseña en el secundario a alumnos que no saben derivar, te dan la fórmula $x_{min/max}=\displaystyle\frac{-B}{2A}$ sin mucha mas justificación y la aplicas, lo sé muy bien por las consultas de mi propia hija, la justificación viene luego cuando avanzas en el estudio, aprendes a derivar y sabes como hallar o bien un máximo o bien un mínimo evaluando la segunda derivada.(te puse mayúsculas para no confundir con las minúsculas que te da el ejercicio ya que esta invertidas)

aquí $C(t)= at-bt^2$
es decir
$A=-b$
$B=a$
$C=0$

si aplicas la fórmula
$x_{min/max}=\dfrac{-(a)}{2(-b)}=\dfrac{a}{2b}=150$ EC 1

y reemplazando el dato de concentración a un tiempo t sacas la segunda ecuación
$C(80)=3.52= a80-b(80)^2$ EC 2

Así te queda un sistema de 2ecuaciones con dos incógnitas resoluble.