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[cristianoceli]

Hola como puedo resolver esta congruencia


$7x^4+19x+25 \equiv{0}$ (mod 27)


De antemano gracias

EDITADO

[Alriga]

Re: Resolver congruencia (polinomios)

Hola como puedo resolver esta congruencia

$7x^4+19x+25 \equiv{0}$ (mod 19)

Yo no tengo ni idea, pero mira si puede ayudarte el documento adjunto, a partir de la página 103: Congruencias de Grado Superior

Saludos.

[Weip]

Re: Resolver congruencia (polinomios)

Hola como puedo resolver esta congruencia


$7x^4+19x+25 \equiv{0}$ (mod 19)


De antemano gracias

¿El enunciado seguro que es ese? ¿Te has dejado algún signo menos en algún lugar? No he encontrado ninguna solución y el ordenador me confirma que no hay. En todo caso te digo como proceder. Lo primero de todo es simplificar: tienes números como $19$ y $25$ que son mayores o iguales a $19$ así que la ecuación queda $7x^4+6 \equiv0 (mod 19)$. Fíjte que el término $19x$ desaparece porque $19\equiv 0 (mod 19)$. Si despejas haciendo todas las operaciones módulo 19 entonces llegas a $x^4 \equiv 10 (mod 19)$, que, si no me equivoco al ponerlo en el ordenador, no tiene solución. En cambio si el problema es resolver $7x^4+19x-25 \equiv 0 (mod 19)$ o $-7x^4+19x+25 \equiv 0 (mod 19)$ entonces sí hay soluciones.

[cristianoceli]

Re: Resolver congruencia (polinomios)

¿El enunciado seguro que es ese? ¿Te has dejado algún signo menos en algún lugar? No he encontrado ninguna solución y el ordenador me confirma que no hay. En todo caso te digo como proceder. Lo primero de todo es simplificar: tienes números como $19$ y $25$ que son mayores o iguales a $19$ así que la ecuación queda $7x^4+6 \equiv0 (mod 19)$. Fíjte que el término $19x$ desaparece porque $19\equiv 0 (mod 19)$. Si despejas haciendo todas las operaciones módulo 19 entonces llegas a $x^4 \equiv 10 (mod 19)$, que, si no me equivoco al ponerlo en el ordenador, no tiene solución. En cambio si el problema es resolver $7x^4+19x-25 \equiv 0 (mod 19)$ o $-7x^4+19x+25 \equiv 0 (mod 19)$ entonces sí hay soluciones.

Hola me equivoque. Un error de tipeo, la congruencia es $7x^4+19x+25 \equiv 0 (mod 27)$

Si no fuera mucho la molestia, me podrías explicar como procedo para resolverla, es que no he visto ningún ejemplo de congruencias con polinomios.

Ya lo edite

Saludos

[Weip]

Re: Resolver congruencia (polinomios)

Hola me equivoque. Un error de tipeo, la congruencia es $7x^4+19x+25 \equiv 0 (mod 27)$

Si no fuera mucho la molestia, me podrías explicar como procedo para resolverla, es que no he visto ningún ejemplo de congruencias con polinomios.

Ya lo edite

Saludos

Vale, vamos a ello entonces. Decir que en el documento que te ha pasado Alriga tienes un ejemplo resuelto que es mejor incluso que este ejercicio, ya que cubre el caso en que el grado de la ecuación sea superior al número de elementos de $\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}$ (en el documento, $n=7$).

Para empezar lo primero que tienes que mirar es que todo esté simplificado, es decir, que todos los números que tengas sean menores que $27$ (o el modulo que toque). En este caso tanto $7$, $19$ y $25$ son menores que $27$ así que no haces nada, pero ten presente que si, por ejemplo, tuvieramos un $29$, en vez del $29$ pondríamos un $2$. Este número se obtiene contando $29$ desde y, cuando llegues al $26$, vuelves a empezar por el y sigues contando. ¿La artimética de $\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}$ la entiendes? Si no es así dímelo y me explayo más. Por ahora supondré que con esto no tienes problema. Como he dicho antes si hubiera problemas con el exponente tendríamos que trabajar más. No es el caso, así que paso siguiente.

Ahora como si de una ecuación normal y corriente se tratase, pasamos el $25$ al otro lado. Pero cuidado, no lo pasamos como $-25$, si no como $2$, pues $-25\equiv 2 (mod 27)$. Nos queda $7x^4+19x\equiv 2 (mod 27)$. Simplificamos ahora el coeficiente de $x^4$ por comodidad. Si esto fuera $\mathbb{R}$ sencillamente dividiríamos entre $7$ a ambos lados. Pero esto es $\mathbb{Z}/{27\mathbb{Z}}$, así que hay que pensar un poco más. Si usas la definición podrás ver que el inverso de $7$ es $4$ (compruébalo: ¿cuanto vale $7$ por $4$ en $\mathbb{Z}/{27\mathbb{Z}}$?). Por lo tanto nos queda $x^4+22x \equiv 8 (mod 27)$.

Bueno, ya estamos acabando. Ahora viene un momento que sin duda te parecerá difícil pero te aseguro que contra más practiques, mejor te saldrá. La ecuación no se puede simplificar más y es un tanto complicada. Es por ello que sacamos la solución a ojo. Sale $x=16$ (compruébalo), y ninguna más. Por lo tanto la solución es $x=16+27n$ con $n\in \mathbb{Z}$ (no sé en qué forma te lo hacen poner; igual con el $x=16$ es suficiente, si no sabes qué criterios usáis en clase, pon las dos formas). Sé por propia experiencia que ese último paso es difícil que se te ocurra. Pero lo dicho, no te desanimes, practica mucho y entonces te saldrá solo. Si te ves muy apurado en un examen, simplifica todo lo que puedas y ves probando números del al $26$ que alguno será solución. No te lo recomiendo pero bueno, en un examen te pueden pasar multitud de cosas y hay que tener recursos.

Espero haberte ayudado.

Por cierto Alriga, un pregunta que tu esto seguro que lo sabes, ¿cómo se pone el $(mod 27)$ en LaTex en plan que se vea bien?

[Alriga]

Re: Resolver congruencia (polinomios)

... un pregunta ... ¿cómo se pone el $(mod 27)$ en LaTeX en plan que se vea bien? ...

\mod

Ejemplo:

[TEX]7x^4+19x+25 \equiv 0 \mod 27[/TEX]

Que se ve así:

$7x^4+19x+25 \equiv 0 \mod 27$

Saludos

[cristianoceli]

Re: Resolver congruencia (polinomios)

Vale, vamos a ello entonces. Decir que en el documento que te ha pasado Alriga tienes un ejemplo resuelto que es mejor incluso que este ejercicio, ya que cubre el caso en que el grado de la ecuación sea superior al número de elementos de $\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}$ (en el documento, $n=7$).

Para empezar lo primero que tienes que mirar es que todo esté simplificado, es decir, que todos los números que tengas sean menores que $27$ (o el modulo que toque). En este caso tanto $7$, $19$ y $25$ son menores que $27$ así que no haces nada, pero ten presente que si, por ejemplo, tuvieramos un $29$, en vez del $29$ pondríamos un $2$. Este número se obtiene contando $29$ desde y, cuando llegues al $26$, vuelves a empezar por el y sigues contando. ¿La artimética de $\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}$ la entiendes? Si no es así dímelo y me explayo más. Por ahora supondré que con esto no tienes problema. Como he dicho antes si hubiera problemas con el exponente tendríamos que trabajar más. No es el caso, así que paso siguiente.

Ahora como si de una ecuación normal y corriente se tratase, pasamos el $25$ al otro lado. Pero cuidado, no lo pasamos como $-25$, si no como $2$, pues $-25\equiv 2 (mod 27)$. Nos queda $7x^4+19x\equiv 2 (mod 27)$. Simplificamos ahora el coeficiente de $x^4$ por comodidad. Si esto fuera $\mathbb{R}$ sencillamente dividiríamos entre $7$ a ambos lados. Pero esto es $\mathbb{Z}/{27\mathbb{Z}}$, así que hay que pensar un poco más. Si usas la definición podrás ver que el inverso de $7$ es $4$ (compruébalo: ¿cuanto vale $7$ por $4$ en $\mathbb{Z}/{27\mathbb{Z}}$?). Por lo tanto nos queda $x^4+22x \equiv 8 (mod 27)$.

Bueno, ya estamos acabando. Ahora viene un momento que sin duda te parecerá difícil pero te aseguro que contra más practiques, mejor te saldrá. La ecuación no se puede simplificar más y es un tanto complicada. Es por ello que sacamos la solución a ojo. Sale $x=16$ (compruébalo), y ninguna más. Por lo tanto la solución es $x=16+27n$ con $n\in \mathbb{Z}$ (no sé en qué forma te lo hacen poner; igual con el $x=16$ es suficiente, si no sabes qué criterios usáis en clase, pon las dos formas). Sé por propia experiencia que ese último paso es difícil que se te ocurra. Pero lo dicho, no te desanimes, practica mucho y entonces te saldrá solo. Si te ves muy apurado en un examen, simplifica todo lo que puedas y ves probando números del al $26$ que alguno será solución. No te lo recomiendo pero bueno, en un examen te pueden pasar multitud de cosas y hay que tener recursos.

Espero haberte ayudado.

Por cierto Alriga, un pregunta que tu esto seguro que lo sabes, ¿cómo se pone el $(mod 27)$ en LaTex en plan que se vea bien?

Hola me gusta tu forma de explicar es muy clara y la forma de resolución me parece muy intuitiva y clara. Entiendo que el inverso de 7 es 4 ya que es el resultado de la congruencia $7x \equiv 1 (mod 27)$. Ahora bien, lo único que no entiendo es porque queda $x^4 +22x \equiv 8 (mod 27)$.

De donde sale el 22x y el 8.

Saludos.

Pd: Abusando de tu buena disposición mas aelante en la guía me pide que lo resuelva aplicando un teorema que está en este link https://www.uam.es/personal_pdi/cien...pitulo%203.pdf
[FONT=verdana](El teorema 3.4.3 hay un ejemplo de la aplicación en el documento [/FONT][FONT=verdana](páginas 8 y 9)). Hay cosas que no entiendo como subir de modulo.

De antemano muchas gracias.[/FONT]

[Alriga]

Re: Resolver congruencia (polinomios)

... Entiendo que el inverso de 7 es 4 ya que es el resultado de la congruencia $7x \equiv 1 (mod 27)$. Ahora bien, lo único que no entiendo es porque queda $x^4 +22x \equiv 8 (mod 27)$.

De donde sale el 22x y el 8 ...

Leyendo la explicación de Weip, y suponiendo que la he entendido, a esta parte voy a intentar atreverme a responder yo:

Como el inverso de 7 es 4 hay que multiplicar por 4 toda la ecuación $7x^4+19x\equiv 2 \mod 27$

Y se obtiene:

$4 \cdot 7 x^4 +4 \cdot 19 x \equiv 4 \cdot 2 \mod 27$

$28 x^4 +76 x \equiv 8 \mod 27$

$28 \mod 27=1$

$76 \mod 27 =22$

$x^4 +22 x \equiv 8 \mod 27$

Saludos

[cristianoceli]

Re: Resolver congruencia (polinomios)

Leyendo la explicación de Weip, a esta parte voy a intentar atreverme a responder yo:

Como el inverso de 7 es 4 hay que multiplicar por 4 toda la ecuación $7x^4+19x\equiv 2 \mod 27$

Y se obtiene:

$4 \cdot 7 x^4 +4 \cdot 19 x \equiv 4 \cdot 2 \mod 27$

$28 x^4 +76 x \equiv 8 \mod 27$

$28 \mod 27=1$

$76 \mod 27 =22$

$x^4 +22 x \equiv 8 \mod 27$

Saludos

Tienes razón

Saludos

[Weip]

Re: Resolver congruencia (polinomios)

Hola de nuevo.

Pd: Abusando de tu buena disposición mas aelante en la guía me pide que lo resuelva aplicando un teorema que está en este link https://www.uam.es/personal_pdi/cien...pitulo%203.pdf
[FONT=verdana](El teorema 3.4.3 hay un ejemplo de la aplicación en el documento [/FONT][FONT=verdana](páginas 8 y 9)). Hay cosas que no entiendo como subir de modulo.

De antemano muchas gracias.[/FONT]

La idea de que una solución suba de módulo $p^{\alpha-1}$ a módulo $p^{\alpha}$ es más que nada encontrar una solución módulo $p^{\alpha}$ generada por una solución módulo $p^{\alpha-1}$. Primero nota que puedes descomponer $27$ como $3^3$. En general, te interesa descomponer tu número en potencias de un primo (es por el tema de las hipótesis del teorema). Tu ejercicio es más complicado que el ejemplo resuelto en tus apuntes ya que has de subir de $3$ a $3^2$ y luego de $3^2$ a $3^3=27$. Pienso que para que lo entiendas mejor es conveniente hacer solo la primera mitad del ejercicio y si lo entiendes entonces atacamos la otra mitad. Pues lo dicho, te muestro como subir una solución módulo $3$ a módulo $3^2$.

Sea $f(x)=7x^4+19x+25$. Empezamos resolviendo la ecuación $f(x) \equiv 0 \mod 3$. Solo hay tres posibles soluciones así que es fácil, $x=1$. Esta será la solución que subiremos a $3^2$. Seguidamente:

Parte donde usamos el teorema: $f'(x)=28x^3+19 \equiv x+1 \mod 3$ (aquí he aplicado el pequeño teorema de Fermat: $x^3 \equiv x \mod 3$). Evaluamos en la solución que hemos encontrado anteriormente, $x=1$: $f'(1)=2 \mod 3$. Aplicamos el teorema: como $f'(1) \not\equiv 0 \mod 3$ entonces $x=1$ sube de manera única de $3$ a $3^2$.

Finalmente la nueva solución será $a=1+3q \mod 9$ donde $1$ es la solución módulo $3$, $3$ el módulo anterior y $q$ cumple $k+qf'(1)\equiv 0 \mod 3$ con $k=f(1)/3=17$ (cuidado, en la $k$ las operaciones se hacen sin módulo; yo antes me he equivocado en esto) de donde sacamos que $k+qf'(1)=17+2q\equiv 0 \mod 3$. Obtenemos $q=2$ y sustituyendo en $a=1+3q$ tenemos $a=7 \mod 9$.

Ahora tocaría subir $a=7$ de $3^2$ a $3^3=27$ pero paro aquí. ¿Tienes alguna duda de lo que hemos hecho hasta ahora? No te preocupes que el siguiente paso es calcado, pero es porque no se te haga una bola.

[cristianoceli]

Re: Resolver congruencia (polinomios)

Perdona por no responderte antes . Me ha quedado muy clara tu explicación


Saludos