Consulta sobre cálculo de valores del tensor de Ricci.

[inakigarber]

Buenas noches;

Estoy tratando de aprender a calcular los valores del tensor de Ricci, pero ando un poco perdido y no se si estoy haciéndolo bien. Para ello parto de un tensor sencillo
como este; $\left[\begin{matrix}r^2 & 0\\0 & r^2 \sin^{2}{\left(\theta \right)}\end{matrix}\right]$

Para ello utilizo como referencia esta página de internet Christoffel Symbols Calculator.
$R_{\mu v}=\left[\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1.0 \sin^{2}{\left(\theta \right)}\end{matrix}\right]$
Los símbolos de Christtoffel que me calcula la página (y que doy por buenos, de hecho me resultan ya familiares) son los siguientes;
$\Gamma^1_{22}=-\sin(\theta)\cos(\theta)$ y $\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\cot(\theta)$
Para empezar he intentado calcular el primer valor del tensor con la fórmula;
$R_{ij}=\dfrac{\partial \Gamma^k_{ij}}{\partial x^k}-\dfrac{\partial \Gamma^k_{ik}}{\partial x^j}+\Gamma^k_{ij}\Gamma^m_{km}-\Gamma^k_{im}\Gamma^m_{jk}$

Para intentar averiguar el como se deducen estos valores, parto del primer elemento enumero como i=1 y j=1.
Sustituyo en la expresión del tensor i y j por 1

$R_{11}=\dfrac{\partial \Gamma^k_{11}}{\partial x^k}-\dfrac{\partial \Gamma^k_{1k}}{\partial x^1}+\Gamma^k_{11}\Gamma^m_{km}-\Gamma^k_{1m}\Gamma^m_{1k}$
El primer sumando es nulo, ya que no tengo ningún símbolo con subíndices 11. En el segundo solo puedo considerar la opción;
$R_{11}=-\dfrac{\partial \Gamma^2_{12}} {\partial x^1}=(\csc(\theta))^2$
El tercer sumando de la serie es tambien nulo, y la solución que me da el sumando final es $(\cot (\theta)^2$. De manera que el resultado que me da mi es;
$R_{11}=(\csc(\theta))^2+(\cot (\theta)^2$, el cual difiere de la solución que da la mencionada página, ya que el resultado que da es 1. Supongo que me equivoco, pero no se en que estoy cometiendo el error.

Me gustaría saberlo.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola , Iñaki en este momento solo te puedo recomendar que revises todos los sumándos... ten en cuenta que si bien i y j quedan definidos cuando decides calcular la componente $R_{ij}$ del tensor, al interior k y m son subindices dummys , toman todos los valores posibles en este caso 1 y 2, ya que tienes solo dos componentes $(r,\theta)$, por lo que pude observar cada componente es la suma y resta de 12 términos, asegúrate aunque sea a lápiz y papel que los has tenido en cuenta a todos.
Es cierto que la mayoría se hace 0, y que mucho se cancelan por sumarse y restarle a continuación, pero bueno ,con un sumando mal, te arruina la cosecha., así que paciencia y persevera, mentalmente no sale fácil reconocer que será o no nulo, a menos que tengas mucha práctica.

Cuando ande con más tiempo, lo reviso con detenimiento y lo posteo.

[Richard R Richard]

Hola para esa métrica tienes que

$\Gamma^1_{11}=r$
$\Gamma^2_{22}=r^2 cos(\theta)\sin(\theta)$
$\Gamma^1_{12}=-\Gamma^2_{21}=-r \sin^2(\theta)$

lo he sacado de la misma calculadora on line

[inakigarber]

Gracias por tus comentarios, los revisaré, pero hay un error en tu cálculo, porque las bases de coordenadas que utiliza la calculadora son las coordenadas angulares $\theta$ y $\phi$. (Estoy utilizando la opción Examples-->2-Sphere). Al seleccionarlo aparecen automáticamente el tensor y las coordenadas métricas. Luego estoy calculando con respecto a esas bases cooprenadas.

[inakigarber]

Gracias por tu comentario.

Los símbolos de Christoffel que me salen en la calculadora són;
$\Gamma^1_{\mu v}=\left[\begin{matrix}0 & 0\\0 & - 1.0 \sin{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)}\end{matrix}\right]$
$\Gamma^2_{\mu v}=\left[\begin{matrix}0 & \frac{1.0 \cos{\left(\theta \right)}}{\sin{\left(\theta \right)}}\\\frac{1.0 \cos{\left(\theta \right)}}{\sin{\left(\theta \right)}} & 0\end{matrix}\right]$
Que expresados en subíndices son [TEX]\Gamma^1_{22},\Gamma^1_{12},
Voy a probar con el primer elemento de la serie.
$R_{11}=\dfrac{\partial \Gamma^k_{11}}{\partial x^k}-\dfrac{\partial \Gamma^k_{1k}}{\partial x^1}+\Gamma^k_{11}\Gamma^m_{km}-\Gamma^k_{1m}\Gamma^m_{1k}$.
Los elementos 1 y 3 de la expresión son nulos, ya que no existe ningún símbolo con los dos subíndices igualados a 1.
El segundo elemento solo tiene un valor posible; $\dfrac{\partial \Gamma^2_{12}}{\partial x^1}=(\csc(\theta))^2$. El último elemento es más complicado. Hago la siguiente serie de sumas;
$\Gamma^k_{1m}\Gamma^m_{1k}=\Gamma^1_{11}\Gamma^1_{11}+\Gamma^2_{11}\Gamma^1_{12}+\Gamma^1_{12}\Gamma^2_{11}+\Gamma^2_{12}\Gamma^2_{12}$, de los cuales solo me sobrevive el último, que resulta ser $=\cot(\theta)^2$, por tanto el resultado que me sale es;
$R_{11}=-(csc(\theta))^2-\cot(\theta)^2$, esto no me cuadra con el resultado que me da la calculadora que es 1. Imagino que estoy olvidando algún paso que me esta volviendo loco.

Saludos.