1r ciclo ¿Alguien conoce una relación de este tipo?

[mrmgranada]

He sacado una fórmula relacionando la función gamma con la integral entre 0 y pi/2 de (sen(x)*cos(x))^k y me gustaría saber si alguien ha visto alguna vez una fórmula de este tipo. Es que yo no la he visto y quiero comprobar si ya la hay, es curiosidad más que nada.


Muchas gracias

[saturno]

Re: ¿Alguien conoce una relación de este tipo?

Si lo que quieres decir es que la función gamma puede expresarse como esa integral que has puesto, donde $k$ implica el valor $\Gamma(k)$, entonces me temo que no.

[Weip]

Re: ¿Alguien conoce una relación de este tipo?

He sacado una fórmula relacionando la función gamma con la integral entre 0 y pi/2 de (sen(x)*cos(x))^k y me gustaría saber si alguien ha visto alguna vez una fórmula de este tipo. Es que yo no la he visto y quiero comprobar si ya la hay, es curiosidad más que nada.


Muchas gracias

Hola. Sería conveniente que describieses toda la deducción que has hecho porque igual has llegado a una fórmula que no tiene nombre propio ni es útil pero que está bien. O quizás esté mal pero con tu idea igual se llega algún sitio interesante.

Edito: Es posible que este enlace te sea útil. ¿Es alguna de estas fórmulas a la que has llegado?

[mrmgranada]

Re: ¿Alguien conoce una relación de este tipo?

$\Gamma(k+1)=\int{t}^{k }{e}^{-t }dt=\sqrt{\int{t}^{k }{e}^{-t}{\mu}^{k}{e}^{\mu}d(k,\mu)}$

Haciendo el cambio de variables t=$\rho{\cos(\theta)}^{2 }$, $\mu=\rho{\sin(\theta)}^{2 }$:

El jacobiano es $2\rho\sin(\theta)\cos(\theta)$, por lo que queda $\sqrt{\iint2{(\cos(\theta)\sin(\theta))}^{2k+1 }{\rho}^{ 2k+1}{e}^{ -\rho}d\rho d\theta}$ Los límites de integración respecto a $\theta$ son 0 y $\frac{\pi}{ 2}$, mientras que respecto a $\rho$ son 0 e infinito.

Aplicando la definición de la función gamma, esto es $\sqrt{\int2\Gamma(2k+2){(\sin(\theta)\cos(\theta))}^{2k+1 }d\theta}$

Por tanto: $\int{(\cos(\theta)\sin(\theta))}^{2k+1 }d\theta=\frac{{(\Gamma(k+1))}^{2 }}{2\Gamma(2k+2) }$ Con límites de integración 0 y $\frac{\pi}{ 2}$
Y aplicando la función gamma puede obtenerse una expresión concreta por ejemplo para exponentes pares e impares del producto de la integral:

Si k es un número natural, 2k+1 es un impar a: $\int{(\cos(\theta)\sin(\theta))}^{a }d\theta=\frac{{(\frac{a-1}{2 }!)}^{2 }}{2(a!) }$

Si k es de la forma m/2 con m un natural impar, 2k+1 es un par b: $\int{(\cos(\theta)\sin(\theta))}^{b }d\theta=\frac{\pi{[(b-1)!!]}^{2 }}{{2}^{b+1 }(b!) }$

- - - Actualizado - - -

Weip, creo que la mía es un caso concreto de la del segundo comentario del enlace

[saturno]

Re: ¿Alguien conoce una relación de este tipo?

Personalente no había visto nunca esta relación, sin embargo el resultado es correcto. Bueno, si algún día te encuentras con una integral de funciones trigonométricas quizá puedas usar este resultado.