Otras carreras ¿Cómo se aplica aquí la inducción?

[alexpglez]

"Todo polinomio que no es irreducible es producto de polinomios irreducibles:
Demostración: sea p
$\forall f \in K[x]$, no irreducible, $\exists p,g \in K[x] \; f=pg\; \wedge \; deg(p), \; deg(g)\; < deg(f)$, luego por inducción sobre el grado del polinomio, si todos de menor grado que $f$ tienen descomposición en irreducibles $p=\prod_i p_i$, $g=\prod_j p_j$ entonces $f=pg=\prod_k p_k$ es producto de irreducibles."

Sin embargo no entiendo cómo se utiliza la inducción. Entiendo que:

Sea $(A,\leq)$ una clase bien ordenada, entonces se da el teorema de inducción:

$$\forall B \subset A \forall x \in A (A^{<}_{x} \subset B \rightarrow x \in B) \rightarrow B=A$$

.
Además, considerando $B=\{x\in A | \phi(x) \}$, entonces es equivalente a:

$$\forall x \in A( \forall a<x \phi(a) \rightarrow \phi(x)) \rightarrow \forall x \in A \phi(x)$$

Mi pregunta es, ¿qué considero aquí como $B$ y cómo $A$?

Veo con algo de sentido considerar $A=K[x]$, $B=\{ q \in K[x] | \exists \{p_i\} \subset K[x] \; irreducibles \; q=\prod_i p_i \}$, considerar la relación $p\leq q \leftrightarrow deg(p)\leq deg(q)$.
El problema aquí es que es una relación que cumple la conexa, simétrica y transitiva, pero no la antisimétrica. Por lo que $\leq$ no es una relación de orden, ni $(K[x],\leq)$ puede estar bien ordenada...

Gracias, saludos.

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Creo que ya sé quién es $A=N$ y $B=\{ n \in N| \forall f \in K[x] deg(f)=n \rightarrow \exists k \in K \exists \{p_i\}_{i\in I} \subset K[x] \; irred \; f=k\prod_{i\in I} p_i\}$.

De hecho, se demuestra, como ya expresé con palabras, que $\forall n \in N(N^<_n \subset B \rightarrow n \in B)$, por lo que $B=A$, es decir que:

$$\forall n \in N \forall f \in K[x] (deg(f)=n \rightarrow \exists k \in K \exists \{p_i\}_{i\in I} \subset K[x] \; irred \; f=k\prod_{i\in I} p_i)$$

Pero esto implica que, (es de hecho equivalente):

$$\forall f \in K[x] \exists k \in K \exists \{p_i\}_{i\in I} \subset K[x] \; irred \; f=k\prod_{i\in I} p_i$$

Y ya estaría demostrado.

Entiendo entonces cuando el profesor quiere decir que "se induce sobre el grado del polinomio", quiere decir que se considera un $B \subset N$, tal que ''representa'' a los polinomios con "cierto" grado (que es natural por definición) que cumple una propiedad. Es decir que, "se induce sobre el grado del polinomio" es equivalente lógicamente hablando a demostrar una propiedad $\phi(f)$ por inducción con:

$$B=\{n \in N| \forall f \in K[x] deg(f)=n \rightarrow \phi(f) \}\subset N$$

[Weip]

Re: ¿Cómo se aplica aquí la inducción?

Pues yo diría que $A$ es $\mathbb{N}\cup\left\{- \infty \right\}$, es decir, el conjunto que contiene los posibles grados de un polinomio.

Edito: Parece que mientras leía y escribía ya te has dado cuenta tú solo.