Olimpiada Problema olimpiadas

[Visitante]

Buenas noches,

La fase local de la olimpiada matemática está al caer y me las estoy preparando de nuevo. A ver si este año hay más suerte. No logro entender del todo la siguiente solución:

¿Existe un conjunto infinito de números naturales que NO se pueden representar en la forma
${n}^{2 }+p$,
siendo n natural y p primo? Razónese la contestación.
Solución
La respuesta es afirmativa. Vamos a demostrar que hay un número no acotado de cuadrados que no se puede expresar de esa manera.
Sea ${m}^{2 }={n}^{2 }+p$. Entonces ${m}^{2 }-{n}^{2 }=p \Leftrightarrow (m-n)(m+n)=p$ y al ser p primo, necesariamente
$m-n=1;m+n=p$
De aquí que
$m=\dst\frac{p+1}{2 }$
Luego ${m}^{2 }={n}^{2 }+p$ es posible sólo para números de la forma $\dst\frac{p+1}{ 2}$, con p primo.
Pero existe un conjunto no acotado de números impares que no son primos, como por ejemplo ${3}^{r }$con $r\geqslant 2$.

Mi duda es que no entiendo esto último ¿Qué tiene que ver que exista un conjunto no acotado de números impares que no son primos con lo anterior?

[Weip]

Re: Problema olimpiadas

Hola Malevolex. De $m=\frac{p+1}{2}$ podemos pasar a $2m-1=p$. $2m-1$ es un número impar y como existen infinitos impares que no son primos entonces existen infinitos $m$ que no cumplen la igualdad anterior, luego existen infinitos $m$ que no cumplen $m^2=n^2+p$.

[Visitante]

Re: Problema olimpiadas

Hola Malevolex. De $m=\frac{p+1}{2}$ podemos pasar a $2m-1=p$. $2m-1$ es un número impar y como existen infinitos impares que no son primos entonces existen infinitos $m$ que no cumplen la igualdad anterior, luego existen infinitos $m$ que no cumplen $m^2=n^2+p$.

Entonces cuando dice que ${3}^{r }$ con $r \geqslant 2$, se refiere a p? es decir $p={3}^{ r}$?

[Weip]

Re: Problema olimpiadas

Entonces cuando dice que ${3}^{r }$ con $r \geqslant 2$, se refiere a p? es decir $p={3}^{ r}$?

No no, piensa que números como 9, 27, etc no son primos. A lo que se refiere es que hay infinitos números de la forma $2m-1$ que no cumplen con la igualdad $2m-1=p$, es decir, infinitos números impares que no son primos. Pone como ejemplo los de la forma $3^r$ con $r \geqslant 2$ porque son impares, no son primos (la condición $r \geqslant 2$ está para excluir el caso del tres, que es impar y primo) y hay infinitos números de esa forma, pero también se pueden poner otro tipo de números, mientras sean impares, no primos, y tengas una lista infinita de ellos. No sé si me explico.

[Visitante]

Re: Problema olimpiadas

No no, piensa que números como 9, 27, etc no son primos. A lo que se refiere es que hay infinitos números de la forma $2m-1$ que no cumplen con la igualdad $2m-1=p$, es decir, infinitos números impares que no son primos. Pone como ejemplo los de la forma $3^r$ con $r \geqslant 2$ porque son impares, no son primos (la condición $r \geqslant 2$ está para excluir el caso del tres, que es impar y primo) y hay infinitos números de esa forma, pero también se pueden poner otro tipo de números, mientras sean impares, no primos, y tengas una lista infinita de ellos. No sé si me explico.

Sí, creo que antes no me expliqué bien. Lo que quería decir es que 9,27... serían los valores de p, pero no pueden ser puesto que no son primos.