Otras carreras Demostrar que no es una función racional

[cristianoceli]

Hola estoy empezando un curso de álgebra abstracta y al desarrollar una guía quede atascado con este ejercicio

Si k es un "field" campo en el cual $1+1 \neq{0}$ pruebe que $\sqrt[ ]{1-x^2}$ no es una función racional sobre k

Me han recomendado imitar la demostración clásica de $\sqrt[ ]{2}$ es un irracional pero la verdad no me resulta y no logro llegar a la contradicción



Saludos

[Weip]

Re: Demostrar que no es una función racional

Hola cristianoceli.

Hola estoy empezando un curso de álgebra abstracta y al desarrollar una guía quede atascado con este ejercicio

en el cual $1+1 \neq{0}$ pruebe que $\sqrt[ ]{1-x^2}$ no es una función racional sobre k

Me han recomendado imitar la demostración clásica de $\sqrt[ ]{2}$ es un irracional pero la verdad no me resulta y no logro llegar a la contradicción

Tal y como te han dicho, la demostración es igual que la de $\dst\sqrt{2}$. Esta vez el papel de $2$ lo hace $1-x^2$. Por si te sirve, la cosa sería coger la primera demostración de este enlace como referencia o guía. Empieza por suponer que $\sqrt{1-x^2}=p(x)/q(x)$ con $mcd(p,q)=1$. Elevando al cuadrado se obtiene $p(x)^2=(1-x^2)q(x)^2$. De aquí se deduce que $p(x)^2$ es múltiplo de $1-x^2$ y que $p$ es múltiplo de $1-x^2$ (el porqué te lo dejo a ti). Siguiendo un poco con este razonamiento has de llegar a que $1-x^2$ divide a $q(x)$, lo que es una contradicción con la suposición de que $mcd(p,q)=1$.

No he hecho la demostración entera porque al final eres tú el que ha de hacer la faena, pero con lo que te he dicho casi casi sería ir completando los detalles, intenta escribir tú mismo la demostración con pelos y señales y luego si quieres te decimos que está bien y que está mal.

Por último un detalle, por si acaso:

Si k es un "field" campo

En realidad en castellano se dice cuerpo.

[cristianoceli]

Re: Demostrar que no es una función racional

Hola cristianoceli.

Tal y como te han dicho, la demostración es igual que la de $\dst\sqrt{2}$. Esta vez el papel de $2$ lo hace $1-x^2$. Por si te sirve, la cosa sería coger la primera demostración de este enlace como referencia o guía. Empieza por suponer que $\sqrt{1-x^2}=p(x)/q(x)$ con $mcd(p,q)=1$. Elevando al cuadrado se obtiene $p(x)^2=(1-x^2)q(x)^2$. De aquí se deduce que $p(x)^2$ es múltiplo de $1-x^2$ y que $p$ es múltiplo de $1-x^2$ (el porqué te lo dejo a ti). Siguiendo un poco con este razonamiento has de llegar a que $1-x^2$ divide a $q(x)$, lo que es una contradicción con la suposición de que $mcd(p,q)=1$.

No he hecho la demostración entera porque al final eres tú el que ha de hacer la faena, pero con lo que te he dicho casi casi sería ir completando los detalles, intenta escribir tú mismo la demostración con pelos y señales y luego si quieres te decimos que está bien y que está mal.

Por último un detalle, por si acaso:

En realidad en castellano se dice cuerpo.

Muchas gracias Weip por lo de hoy y lo de siempre. Explicas muy claro y me has ayudado mucho.

PD: Lo de campo fue un error de traducción, el ejercicio lo saque de un libro que esta en ingles y lo traduje mal

Saludos