Primaria Series de Taylor multivariable, método de Newton-Raphson multivariable

[HGDANSRB]

Disculpen, alguien de por aquí que sepa como demostrar las formulas de las series de Taylor, he estado viendo algunos documentos, libros pero sinceramente no les entiendo, me confunde, para una variable es muy simple, y se que de ahí se basan las series para multivariable, si alguien por aquí fuera tan amable de hacer una demostración o algún libro, archivo que recomiende. También acerca del método de Newton-Raphson multivariable, se aplica solo para sistemas de ecuaciones o también para una sola ecuación, por ejemplo:

$\dst {x}^{2}y + x - {y}^{2} - 2y = 1$

$\dst f(x,y) = {x}^{2}y + x - {y}^{2} - 2y - 1$

y quiero encontrar las raíces de dicha ecuación, por series de Taylor:

$\dst f(x,y) = 0 = f({x}_{0},{y}_{0}) + \frac{\mathrm{df({x}_{0},{y}_{0})} }{\mathrm{dx}}(x-{x}_{0}) + \frac{\mathrm{df({x}_{0},{y}_{0})} }{\mathrm{dy}}(y-{y}_{0})$

$\dst -f({x}_{0},{y}_{0}) = \Big[\frac{\mathrm{df({x}_{0},{y}_{0})} }{\mathrm{dx}}\hspace{0.5cm} \frac{\mathrm{df({x}_{0},{y}_{0})} }{\mathrm{dy}}\Big]{\Big[x\hspace{0.5cm}y\Big]}^{T} - \Big[\frac{\mathrm{df({x}_{0},{y}_{0})} }{\mathrm{dx}}\hspace{0.5cm} \frac{\mathrm{df({x}_{0},{y}_{0})} }{\mathrm{dy}}\Big]{\Big[{x}_{0}\hspace{0.5cm}{y}_{0}\Big]}^{T}$

$\dst {\Big[x\hspace{0.5cm}y\Big]}^{T} = {\Big[{x}_{0}\hspace{0.5cm}{y}_{0}\Big]}^{T} - \frac{f({x}_{0},{y}_{0})}{\Big[\frac{\mathrm{df({x}_{0},{y}_{0})} }{\mathrm{dx}}\hspace{0.5cm} \frac{\mathrm{df({x}_{0},{y}_{0})} }{\mathrm{dy}}\Big]}$

En la ecuación anterior me queda un escalar dividido entre un vector, para varias ecuaciones sería la matriz jacobiana y se podría realizar la multiplicación, sacar el inverso a la matriz y multiplicarlo por el vector columna de las funciones evaluadas en los valores iniciales, pero en este caso no se como proceder, por eso mi duda es que si solo se puede para sistemas de ecuaciones o también para una sola ecuación, ¿se puede y estoy haciendo algo mal?, agradezco sus respuestas.

[Alriga]

Re: Series de Taylor multivariable, método de Newton-Raphson multivariable

1) Aquí tienes las series de Taylor multivariable con algún ejemplo: Desarrollo de Taylor y extremos en varias variables

Hay una demostración en la Wikipedia: Teorema de Taylor

2) Para el tema Newton-Raphson, también con ejemplos: Álgebra Matricial y Optimización

$\dst f(x,y) = {x}^{2}y + x - {y}^{2} - 2y - 1$

y quiero encontrar las raíces de dicha ecuación, por series de Taylor ...

Supongo que quieres decir por Newton Raphson, no "por series de Taylor"

Aquí tienes un ejemplo del algoritmo Newton-Raphson multivariable en la página 91: Métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales

NOTA: Series de Taylor y Newton-Raphson son dos temas diferentes, por favor de ahora en adelante para temas diferentes crea hilos diferentes, no pongas dos consultas en el mismo hilo.

Saludos.

[HGDANSRB]

Método de Newton-Raphson multivariable

De acuerdo, no volverá a pasar, sólo que en la demostración del método de Newton se utilizan las series de Taylor, pensé que era buena idea ponerlos juntos, pero si son dos temas muy diferentes.

El primer documento que adjuntas ya lo había visto y es bastante entendible si se aplica la formula solo que se salta muchos pasos, principalmente cuando desarrolla la serie para el grado 2 que es justo lo que no logro entender en las demostraciones, bueno, de grado dos en adelante,al final queda como si fuera un cuadrado perfecto para grado 2, para grado 3 según las formulas es como un cuatrinomio cubo perfecto y así sucesivamente, el Teorema de Taylor también ya lo había visto, es muy corta la demostración, no logro entenderlo del todo, pero poco a poco.

Lo que quise decir cuando escribí por series de Taylor era que se expandía la función $f(x,y)$ en seríes de Taylor para obtener la formula del método de Newton Raphson.

En cuanto al método de Newton Raphson según la demostración para una variable se utilizan las líneas tangentes para aproximar la raiz, eso es justo lo que hago:

$\dst f(x,y) = 0 = f({x}_{0},{y}_{0}) + \frac{\mathrm{df({x}_{0},{y}_{0})} }{\mathrm{dx}}(x-{x}_{0}) + \frac{\mathrm{df({x}_{0},{y}_{0})} }{\mathrm{dy}}(y-{y}_{0})$

En este caso para dos variables las lineas tangentes serían los planos tangentes, pero en el documento que adjuntas Algebra lineal y Optimización utilizan la matriz hessiana, es decir que utilizan las segundas derivadas, como lo plantee yo solo utilizo las primeras, y obtengo la fórmula:

$\dst {\Big[x\hspace{0.5cm}y\Big]}^{T} = {\Big[{x}_{0}\hspace{0.5cm}{y}_{0}\Big]}^{T} - \frac{f({x}_{0},{y}_{0})}{\Big[\frac{\mathrm{df({x}_{0},{y}_{0})} }{\mathrm{dx}}\hspace{0.5cm} \frac{\mathrm{df({x}_{0},{y}_{0})} }{\mathrm{dy}}\Big]}$

El vector que divide a $f({x}_{0},{y}_{0})$ sería el vector gradiente, lo que preguntaba que como proceder en ese caso lo resolví con la pseudoinversa del vector gradiente, ahora me surge la duda si mi razonamiento es correcto o incorrecto, debido a lo que planteo de la matriz hessiana, ya que sería como estar tratando con valores críticos, máximos y mínimos.

Todo esto de las demostraciones y métodos los estoy haciendo casi de forma autodidacta con lo que me alcanza el conocimiento, por eso me confunde lo que hago y lo que me dicen ahora los archivos que me adjuntas, dicho esto, ¿el método de Newton Raphson es igual para optimización y para resolver sistemas de ecuaciones no lineales?

En cuanto al último documento es muy interesante, lo tendré que leer.

De nuevo, gracias por responder.