Divulgación Consulta sobre ecuación de Euler

[inakigarber]

Buenas noches;
En un texto que menciona la ecuación de Euler he encontrado una formulación que creo que es errónea, me gustaría me lo confirmarais.
Dice así;
$e^{-i\theta}=cos(\theta) + i sen(\theta)$
Creo que el signo negativo del exponente está equivocado ¿Es así?
Gracias.

[arivasm]

Re: Consulta sobre ecuación de Euler

Tienes razón. Sobra el signo menos en el exponente (o el + de la parte imaginaria debe ser un -)

[Alriga]

Re: Consulta sobre ecuación de Euler

En efecto, como te confirma arivasm, está mal. Tú mismo puedes demostrarlo fácilmente: la Fórmula de Euler correcta es:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Vamos a evaluar $e^{-ix}$

$e^{-ix}=e^{i\cdot(-x)}=\cos (-x)+i\sin (-x)$

Como $\cos(-x)=\cos x$

$\sin (-x)=-\sin x$ entonces:

$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$

Saludos.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre ecuación de Euler

Gracias;
Me estaba volviendo loco. Cuando tenga algo más de tiempo volveré al texto de física cuántica donde estaba el error. A ver si entiendo algo más.
Saludos y gracias.

[carroza]

Re: Consulta sobre ecuación de Euler

Buenas noches;
En un texto que menciona la ecuación de Euler he encontrado una formulación que creo que es errónea, me gustaría me lo confirmarais.
Dice así;
$e^{-i\theta}=cos(\theta) + i sen(\theta)$
Creo que el signo negativo del exponente está equivocado ¿Es así?
Gracias.

Hola. Como uno (al menos yo) no puede acordarse de todos los signos de todas las formulas importantes, basta con recordar que cuando a es pequeño, $e^a \simeq 1 + a$.

Por tanto, para theta pequeño, $e^{-i\theta}\simeq 1 - i \theta$, que no corresponde, para theta pequeño, a $e^{-i\theta}=cos(\theta) + i sen(\theta)$, pero si a $e^{-i\theta}=cos(\theta) - i sen(\theta)$.

Saludos

[Alriga]

Re: Consulta sobre ecuación de Euler

... En un texto que menciona la ecuación de Euler ...

Como curiosidad, la Fórmula de Euler

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Evaluada en $x=\pi$ se convierte en

$e^{i\pi}=\cos \pi+i\sin \pi=-1+i \cdot 0=-1$

Que pasando el -1 al primer miembro se convierte en la Identidad de Euler:

$$\boxed{e^{i\pi}+1=0}$$

Que para muchos pasa por ser la expresión más hermosa de la historia de la Matemáticas, (creo recordar que ganó una vez una votación al respecto) Es una expresión bella porque es sencilla y relaciona a 5 números importantísimos en las Matemáticas y en su aplicación a la Física:

$\bold e=2.718281828\dots$ la base de la única función cuya derivada es ella misma. Es el número más importante del Cálculo.

$\bold i=\sqrt{-1}$ la base de los números imaginarios que permite la formación del Cuerpo de los Complejos, de máxima importancia en Álgebra

$\bold{\pi}=3.14159265 \dots$ La relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, el número más importante de la Geometría.

$\bold 0$ el elemento neutro de la operación suma que permite crear la estructura de Grupo. Además el cero como cifra permite el sistema arábigo de numeración posicional.

$\bold 1$ el elemento neutro de la operación multiplicación que permite, con la suma, crear la estructura de Cuerpo. Además el 1 es la "base" de los números Naturales, permite formar el siguiente añadiendo 1 al anterior.

Saludos.